Physics-1

심심해서 글 하나 씁니다

무한평면 전자기장 다루는 법을 이 글에서 설명할 것이고 다음 글에서 맥스웰 방정식의 해를 다뤄 볼 예정입니다.

1. 무한평면의 전자기장

무한 평면의 법선벡터 방향은 $z$축 방향이고 무한 평면의 면전하를 $\sigma$라고 하며, 이러한 무한 평면의 속도를 $\mathbf{v}$로 표현된다고 합시다. 우린 현재 공간에 무한평면밖에 없는 상황을 다루고 있으므로 이 공간의 전자기장은 $x, y$ 좌표에 비의존할 것이며 오직 $z, t$에만 의존할 것입니다.

그래서, 전자기장은 $z, t$에 대한 함수로서 각각 표현된다고 합시다. 맥스웰 방정식을 통해 위 식들을 정리해보면 다음과 같습니다:

1.전기장에 대한 가우스 법칙

$\frac{\partial E_z}{\partial z} = \frac{\rho}{\epsilon_0}$

2.앙페르 법칙

2.1 앙페르법칙-x축 성분 $-\frac{\partial B_y}{\partial z} = \mu_0 J_x + \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial E_x}{\partial t}$

2.2 앙페르법칙-y축 성분 $\frac{\partial B_x}{\partial z} = \mu_0 J_y + \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial E_y}{\partial t}$

3. 패러데이 법칙

3.1 패러데이법칙-y축 성분 $\frac{\partial E_x}{\partial z} = -\frac{\partial B_y}{\partial t}$

3.2 패러데이법칙-x축 성분 $\frac{\partial E_y}{\partial z} = \frac{\partial B_x}{\partial t}$

($B_z$는 1차원에선 상수입니다. 저희가 다루는 공간에선 $x, y$축에 대한 편미분이 무시됩니다. 이를 자기장에 대한 가우스법칙과 앙페르 법칙에 적용해보면 $B_z$가 $z, t$에 대한 편미분이 모두 0이 돼서 상수가 되는데, 보통 전자기장을 다루는 경우엔 시간 혹은 위치에 따라 변하는 장을 다뤄서 무시되는 경우가 많습니다.)

추가적으로 전하량 보존법칙에 의해 유도되는 연속방정식에 의해, 다음과 같은 식을 유도할 수 있습니다[cite: 9]:
$$ \frac{\partial J_z}{\partial z} + \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0 $$

하지만 위 식엔 단점이 있습니다. 같은 식에 자기장/전기장이 섞여 있기에 연립 편미분 방정식이 되어버리기 때문입니다. 이를 정리하기 위해 전기퍼텐셜과 자기퍼텐셜이 도입되었습니다.

벡터미적분학의 결과에 의해, 발산이 항상 0인 자기장은 어떠한 벡터의 회전으로 표현이 가능하므로 자기 벡터퍼텐셜 $\mathbf{A}$가 존재하게 하여 $\mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A}$가 되게 할 수 있습니다. 또한 임의의 벡터함수는 다른 어떤 벡터의 컬과 어떤 스칼라함수의 그래이디언트로 표현가능하다고 알려져 있으므로 , 전기 퍼텐셜 $\phi$와 자기 벡터퍼텐셜을 이용해 전기장을 다음과 같이 표현할 수 있습니다:
$$ \mathbf{E} = -\nabla \phi - \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t} $$

이 때 자기벡터퍼텐셜에 대하여, 자기 벡터 퍼텐셜은 기본적으로 아무 그레이디언트를 더하거나 빼도 자기장은 변하지 않는다는 특징이 있습니다. 그래서 자기 벡터 퍼텐셜엔 게이지 조건이라 불리는 추가 조건을 붙여 유일하게 만들 수 있습니다. 여기선 로런츠 게이지라 불리는 $\nabla \cdot \mathbf{A} + \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial \phi}{\partial t} = 0$ 조건을 우리의 시공간 상에서 걸 경우, 맥스웰 방정식에 대입하면 다음과 같은 식으로 표현이 가능합니다:

$$\nabla^2 \phi - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \phi}{\partial t^2} = -\frac{\rho}{\epsilon_0} $$
$$\nabla^2 \mathbf{A} - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \mathbf{A}}{\partial t^2} = -\mu_0 \mathbf{J}$$

(단, 위 식에서 $f(z,t)$의 변수 표기는 편의상 생략하였습니다.)

우리가 다룰 무한 평면이 있는 실질적으로 하나의 공간 축밖에 없는 공간에선 좀 더 축약이 가능하기에, 다음 시간에 이 퍼텐셜 방정식은 다시 다룰 예정입니다.

2. 무한 평면이 있는 공간에서 맥스웰 방정식의 요소들 다루기

우리가 구하는 맥스웰 방정식에서 쓰고 있는 전류밀도와 전하밀도는 사실 부피전류밀도/부피전하밀도입니다. 그런데 무한평면은 부피가 0이면서 전하량을 가지기 때문에 부피전류밀도/부피전하밀도가 무한으로 발산한다는 문제가 발생하며, 이를 해결하기 위해 디랙델타함수를 도입합니다.

디랙델타 함수 $\delta(x)$는 $x \neq 0$일 때 0이면서, $\int_{-\infty}^{\infty} \delta(x) dx = 1$ 인 함수로 정의됩니다. 0이 아닌 점에선 전부 0이다가 0에서만 무한으로 발산하면서도, 그 무한을 적분했을 때 절묘하게 1이 나오는 특이한 함수?(분포함수)입니다. 디랙델타 함수를 적분하면 헤비사이드 함수 $H(x)$가 되며 , 이를 다시 적분하면 $xH(x) $가 됩니다.

부피전하밀도를 $z$축 방향으로 적분하면 $z$축을 법선벡터로 하는 평면 위의 면전하밀도가 됩니다. 우리의 무한 평면이 표면 전하밀도가 $\sigma$이고 시간 $t$에서 $z$ 좌표가 $z_0(t)$이라고 할 때, 공간상의 부피전하밀도는 다음과 같이 표현 가능합니다:
$$ \rho(z,t) = \sigma \delta(z - z_0(t)) $$

다음으로 부피전류밀도 또한 마찬가지로 z축 방향으로 적분하면 z축을 법선벡터로 하는 평면 위에서 흐르는 면전류 밀도가 되기에

$$ \vec{J}(z,t)=\vec{K} \delta(z-z_0(t)) $$

이렇게 표현할 수 있을 것입니다.

오늘은 이렇게 1차원 전자기학을 수식으로 다루는 기초를 알아보았으니 다음 글에선 푸리에 변환과 디랙 델타 함수를 이용해 직접 맥스웰 방정식의 해를 그린 함수로 구해보도록 하겠습니다.

출처

1.Griffiths, D. J. (1999). Introduction to electrodynamics (3rd ed.). Prentice Hall

2.https://web.mit.edu/8.02t/www/802TEAL3D/visualizations/guidedtour/Tour.htm