시리즈 | Quantum Chemistry - 5.2. 일반화된 불확정성 원리

지난 글에서 우리는 위치-운동량 불확정성 원리와 에너지-시간 불확정성 원리를 알아보았고, 비로소 양자역학의 확률적인 불확정성에 관해 이해하게 되었다. 그러면, 다음과 같은 질문이 든다.

과연 두 물리량이 어떤 조건을 만족하면 불확정성 원리를 만족할까?

이번 시간에는 이 질문을 통쾌하게 해결해줄 일반화된 불확정성 원리에 관해 알아본다. 그리고, 오늘 알아볼 일반화된 불확정성 원리를 활용하면 근본적으로 위치-운동량 불확정성 원리의 $\hbar / 2$ 상수의 의미를 알게 된다. 자, 그러면 일반화된 불확정성 원리를 통해 불확정성 원리를 근본적으로 파헤쳐보자!

일반화된 불확정성 원리

지난 시간에 언급한 불확정성 원리를 복습해보자.

불확정성 원리는 서로 두 다른 물리량의 불확정성의 관계에 관하여 기술하는 원리이다.

그 중 일반화된 불확정성 원리는 위치-운동량, 에너지-시간의 관계를 넘어서 임의의 두 물리량의 불확정성 관계를 기술한 원리를 말한다. 일반화된 불확정성 원리에 따르면, 서로 다른 두 물리량을 기술하는 연산자가 교환 불가능하면 그 두 물리량을 동시에 정확히 측정할 수는 없으며, 그 불확정성의 곱은 교환자에 $2i$를 나눈 값 이상을 가진다. 연산자 $\hat{A}$, $\hat{B}$에 대한 물리량 $A$, $B$에 대해 일반화된 불확정성 원리를 식으로 표현하면 다음과 같다.

$$\sigma _A \sigma _B \ge \frac{1}{2i}\braket{[\hat{A},\hat{B}]}$$

일반화된 불확정성 원리의 증명

Cauchy-Schwarz Inequality

일반화된 불확정성 원리를 증명하기 위해 부등식 하나만 알아보고 가자. 바로 Cauchy-Schwarz Inequality다. 제목을 영어로 적으니까 뭔가 있어 보이고 어려워 보인다. 그런데, 한글로 읽으면 "뭐야? 별 거 아니네" 소리가 저절로 나온다.

코시 슈바르츠 부등식

고1때 절대부등식 단원에서 배웠던 코시-슈바르츠 부등식이 갑자기 떠오른다. 고등학교에서 배운 코시-슈바르츠 부등식은 다음과 같은 부등식이 모든 실수 a, b, x, y에 관해 성립한다는 것이었다.

$$(a ^{2} + b ^{2}) (x ^{2} + y ^{2}) \ge (ax + by) ^{2}$$

우리가 이번 글에서 활용할 Cauchy-Schwarz Inequality는 이 코시-슈바르츠 부등식을 일반화한 부등식이라고 보아도 좋다. Cauchy-Schwarz Inequality에 따르면, 내적 연산 $<,>$를 가지는 내적 공간의 원소 $u, v$에 대해, 다음과 같은 부등식이 성립한다.

$$|\braket{u, v}| \le \lVert u \rVert \lVert v \rVert$$

$$|\braket{u, v}| ^{2} \le \braket{u, u} \braket{v, v}$$

(실제로, $<,>$를 $\mathbb{R}^2$ 내적 공간 내의 유클리드 내적 연산으로, $u = (a, b)$, $b = (x, y)$로 넣고 대입해주면 고등학교에서 배운 코시-슈바르츠 부등식이 유도된다.)

양자역학에서 주로 다루는 벡터 공간인 힐베르트 공간에서는 두 함수 f, g에 대한 내적을 우리가 전에 배운 Braket 표기법으로 정의한다. ($\braket{f, g} := \braket{f|g}$) 따라서, 다음이 성립한다.

$$|\braket{f|g}| ^{2} \le \braket{f|f} \braket{g|g}$$

이게 바로 우리가 일반화된 불확정성 원리 증명에 사용할 Cauchy-Schwarz Inequality다.

불확정성의 수학적 표현

일반화된 불확정성 원리의 첫 스텝으로, 지난 시간에 뭉뚱그려서 표현했던 불확정성을 Braket 표기법으로 표현하는 방법을 알아보자.

지난 글에서 표현했던 것과 같이, 불확정성은 범위의 의미를 가지며, 일반적으로 해당 물리량의 표준편차($\sigma _A$)로 나타낸다. 확률과 통계 시간에 배웠던 분산의 정의, "물리량의 제곱의 평균 빼기 물리량의 평균의 제곱" (일명 제평평제)에 따르면 불확정성의 제곱(표준편차의 제곱 = 분산)을 다음과 같이 적을 수 있다.

$$\sigma _A ^{2}= \braket{A ^{2}} - \braket{A} ^{2}$$

이 정의는 2개의 항으로 분리되어 있어서 계산하기 힘들다. 그래서, 이 글에서는 두 항을 한 항으로 묶어준 다음 정의를 주로 사용한다.

$$\sigma_A ^{2} = \braket{(\hat{A} - \braket{A}) ^{2}}$$

두 정의가 동치임을 보여보자. 일단, 제곱을 풀어주자.

$$\braket{(\hat{A} - \braket{A}) ^{2}} = \braket{\hat{A} ^{2} -2\braket{A}\hat{A} + \braket{A} ^{2}}$$

확률변수 X, Y의 기댓값에 대해 $E(X + Y) = E(X) + E(Y)$, 즉, $\braket{X + Y} = \braket{X} + \braket{Y}$가 성립하므로, 다음과 같이 정리할 수 있다.

$$\braket{(\hat{A} - \braket{A}) ^{2}} = \braket{\hat{A} ^{2}} -2\braket{\braket{A}\hat{A}} + \braket{\braket{A} ^{2}}$$

확률변수 X와 상수 k에 대해 $E(kX) = kE(X)$, 즉, $\braket{kX} = k\braket{X}$가 성립한다. 그리고, 상수의 기댓값은 상수 그 자체이기 때문에 다음과 같이 정리할 수 있다.

$$\begin{aligned}
\braket{(\hat{A} - \braket{A}) ^{2}} &= \braket{\hat{A} ^{2}} -2\braket{A}\braket{\hat{A}} + \braket{A} ^{2} = \braket{A ^{2}} -2\braket{A}\braket{A} + \braket{A} ^{2} \\
&= \braket{A ^{2}} - \braket{A} ^{2} = \sigma_A
\end{aligned}$$

따라서, $\sigma_A ^{2} = \braket{(\hat{A} - \braket{A}) ^{2}}$가 성립함을 알 수 있다.

일반화된 불확정성 원리의 증명

이제, 일반화된 불확정성 원리를 증명해보자. 두 물리량 A, B에 대해서 불확정성의 제곱(분산)은 다음과 같이 적을 수 있다.

$$\sigma_A ^{2} = \braket{(\hat{A} - \braket{A})(\hat{A} - \braket{A})}$$

$$\sigma_B ^{2} = \braket{(\hat{B} - \braket{B})(\hat{B} - \braket{B})}$$

4편 파동함수 글에서 보았던 것과 같이, $\braket{\hat{Q}} = \braket{\psi | \hat{Q} \psi}$이므로, 임의의 행실 좋은 파동함수 $\psi$에 대해 다음과 같이 표기를 바꿀 수 있다.

$$\sigma_A ^{2} = \braket{\psi |(\hat{A} - \braket{A})(\hat{A} - \braket{A})\psi}$$

$$\sigma_B ^{2} = \braket{\psi | (\hat{B} - \braket{B})(\hat{B} - \braket{B})\psi}$$

여기서, A, B는 물리적으로 의미가 있는 실수 관측량이기 때문에, 이에 대응하는 연산자 $\hat{A}$, $\hat{B}$는 Hermitian 연산자이다. Hermitian 연산자에 상수를 더한 연산자도 당연하게 Hermitian 연산자이므로, 위 식에서 $\psi$ 앞에 곱해진 연산자 둘 중 하나를 "|" 앞으로 넘겨줄 수 있다. 그리고, 일일히 적기는 귀찮기 때문에 $(\hat{A} - \braket{A})\psi = f$로, $(\hat{B} - \braket{B})\psi = g$로 치환해주자.

$$\sigma_A ^{2} = \braket{\psi |(\hat{A} - \braket{A})(\hat{A} - \braket{A})\psi} = \braket{(\hat{A} - \braket{A}) \psi |(\hat{A} - \braket{A})\psi} := \braket{f | f}$$

$$\sigma_B ^{2} = \braket{\psi | (\hat{B} - \braket{B})(\hat{B} - \braket{B})\psi} = \braket{(\hat{B} - \braket{B}) \psi | (\hat{B} - \braket{B})\psi} := \braket{g | g} $$

이제, 두 불확정성을 곱해주고, 앞에서 살펴본 Cauchy-Schwarz Inequality를 적용해주자.

$$\sigma_A ^{2} \sigma_B ^{2} = \braket{f | f} \braket{g | g} \ge |\braket{f | g} |^{2}$$

임의의 복소수 $z$에 대해, 복소수 절댓값 제곱 $|z|^{2} \ge [\frac{1}{2i} (z-z ^{\ast}) ]^{2}$)이 성립한다. (실수 a, b에 대해 $z = a+bi$라 했을 때, 좌변은 $a ^{2} + b ^{2}$, 우변은 $a ^{2}$이기 때문)
위 관계를 식에 적용하면 다음과 같다.

$$\begin{aligned}
|\braket{f | g} | ^{2} &= (\frac{1}{2i} (\braket{f | g} - \braket{f | g} ^{\ast}) ) ^{2} = (\frac{1}{2i} (\braket{f | g} - \braket{g|f}) ) ^{2} \\
&= (\frac{1}{2i} (\braket{(\hat{A} - \braket{A}) \psi | (\hat{B} - \braket{B}) \psi} - \braket{(\hat{B} - \braket{B}) \psi|(\hat{A} - \braket{A}) \psi})) ^{2}
\end{aligned}$$

Hermitian 연산자인 $(\hat{A} - \braket{A})$, $(\hat{B} - \braket{B})$연산자를 "|" 오른쪽으로 다시 넘겨주자. (식이 많이 복잡하다. 눈을 크게 뜨고 잘 살펴보도록 하자.)

$$\begin{aligned}
|\braket{f | g} | ^{2} &= (\frac{1}{2i} (\braket{(\hat{A} - \braket{A}) \psi | (\hat{B} - \braket{B}) \psi} - \braket{(\hat{B} - \braket{B}) \psi|(\hat{A} - \braket{A}) \psi})) ^{2} \\
&= (\frac{1}{2i} (\braket{\psi | (\hat{A} - \braket{A}) (\hat{B} - \braket{B}) \psi} - \braket{\psi| (\hat{B} - \braket{B}) (\hat{A} - \braket{A}) \psi})) ^{2} \\
&= (\frac{1}{2i} (\braket{\psi | (\hat{A} - \braket{A}) (\hat{B} - \braket{B}) \psi} - \braket{\psi| (\hat{B} - \braket{B}) (\hat{A} - \braket{A}) \psi})) ^{2} \\
&= (\frac{1}{2i} (\braket{(\hat{A} - \braket{A}) (\hat{B} - \braket{B})} - \braket{(\hat{B} - \braket{B}) (\hat{A} - \braket{A})})) ^{2} \\
&= (\frac{1}{2i} (\braket{\hat{A}\hat{B} - \braket{A} \hat{B} - \hat{A} \braket{B} + \braket{A}\braket{B}} - \braket{\hat{B}\hat{A} - \braket{B} \hat{A} - \hat{B} \braket{A} + \braket{B}\braket{A}})) ^{2} \\
&= (\frac{1}{2i} (\braket{\hat{A}\hat{B} - \braket{A} \hat{B} - \braket{B} \hat{A} + \braket{A}\braket{B}} - \braket{\hat{B}\hat{A} - \braket{B} \hat{A} - \braket{A}\hat{B} + \braket{A}\braket{B}})) ^{2} \\
&= (\frac{1}{2i} (\braket{\hat{A}\hat{B} - \braket{A} \hat{B} - \braket{B} \hat{A} + \braket{A}\braket{B} - \hat{B}\hat{A} + \braket{B} \hat{A} + \braket{A}\hat{B} - \braket{A}\braket{B}})) ^{2} \\
&= (\frac{1}{2i} (\braket{\hat{A}\hat{B} - \hat{B}\hat{A}})) ^{2} \\
\end{aligned}$$

이제, 교환자의 정의를 활용해주면 다음과 같다.

$$\begin{aligned}
|\braket{f | g} | ^{2} &= (\frac{1}{2i} (\braket{\hat{A}\hat{B} - \hat{B}\hat{A}})) ^{2} \\
&= (\frac{1}{2i} (\braket{[\hat{A}, \hat{B}]})) ^{2}
\end{aligned}$$

위에서 $\sigma_A ^{2} \sigma_B ^{2} \ge |\braket{f | g} |^{2}$임을 보였으므로, 다음 식이 성립함을 알 수 있다.

$$\sigma_A ^{2} \sigma_B ^{2} \ge (\frac{1}{2i} \braket{[\hat{A}, \hat{B}]}) ^{2}$$

이제, 양변에 루트를 씌워주면, 다음과 같이 일반화된 불확정성 원리를 증명할 수 있다!

$$\sigma_A \sigma_B \ge \frac{1}{2i} \braket{[\hat{A}, \hat{B}]}$$

일반화된 불확정성 원리의 적용

위치-운동량 불확정성 원리의 증명

자, 그러면 위에서 증명한 일반화된 불확정성 원리로 지난 글에서 잠시 미뤄두었던 위치-운동량 불확정성 원리의 증명을 살펴보자.

일반화된 불확정성 원리에 위치와 운동량을 대입하기 위해서는, 먼저 교환자 $[x, \hat{p}]$를 먼저 구해야 한다. 그런데, 운동량 연산자에는 미분 연산자가 있어가지고 연산자 그 자체로는 교환자를 계산하기 힘들다.

따라서, 우리는 "시험함수"라는 기술을 활용하여 편하게 교환자를 구할 것이다. 시험함수를 활용하여 교환자를 구하는 방법은 임의의 함수 $f$ 하나(시험함수)에 교환자를 일단 적용한 다음, 식 정리를 했을 때 최종 결과 식 중 $f$를 제외한 앞 부분을 추출하면 된다.

이제, 교환자를 구해보자. 임의의 시험함수 $f$에 교환자 $[x, \hat{p}]$를 적용한 결과는 다음과 같다.
$$\begin{aligned} \\
[x, \hat{p}]f
&= x(\hat{p}f) - \hat{p} (xf) = x \frac{\hbar}{i}\frac{\partial f}{\partial x} - \frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial x}(xf) \\
&= \frac{\hbar}{i}(\frac{\partial f}{\partial x} - \frac{\partial}{\partial x}(xf)) = \frac{\hbar}{i}(x\frac{\partial f}{\partial x} - x\frac{\partial f}{\partial x} - f) = -\frac{\hbar}{i}f = i\hbar f
\end{aligned}$$

따라서, $[x, \hat{p}]f = i\hbar f$이 성립하게 되고, 임의의 시험함수 $f$에 대해서 연산자 $[x, \hat{p}]$와 $ i\hbar$ 연산자는 같다. 따라서, 교환자 $[x, \hat{p}]$를 계산한 결과는 다음과 같다.

$$[x, \hat{p}] = i\hbar$$

이제, 이 교환자를 일반화된 불확정성 원리 식에 집어넣어주자.

$$\sigma_x \sigma_p \ge \frac{1}{2i} \braket{[x, \hat{p}]} = \frac{\hbar}{2}$$

오! 저번 글에서 보았던 하이젠베르크의 위치-운동량 불확정성 원리 식이 튀어나왔다. 이로써 우리는 위치-운동량 불확정성 원리를 증명하게 되었다!!
(그리고, 위치-운동량 불확정성 원리의 우변에 있는 $\frac{\hbar}{2}$는 결국 교환자와 관련있는 상수였던 것이었다!)

참고 자료

• Griffiths, D. J., & Schroeter, D. F. (2018). Introduction to quantum mechanics (3rd ed.). Cambridge University Press.