시리즈 | Quantum Chemistry - 5.1. 하이젠베르크의 불확정성 원리

지금까지 네 편의 글을 통해 양자역학을 공부해보면서 입문했던 양자역학의 첫 인상을 한번 말해보자.

뭔가 이상하지만 어떻게든 잘 물려 돌아가는 미친 세계

많은 독자들이 위와 같이 생각했을 것이고, 특히 물질파를 처음 접했을 때 "물질이 파동의 형태로 퍼져 있다고??"라는 직관은 개나 준 아이디어에 경악을 금치 못했을것이다. 이와 같이, 양자역학은 어느 하나로 결정되어있지 않고 애매하게 중첩되어있는 "불확정성의 세계"라고 볼 수 있다.

저번에는 파동을 다루기 위한 수학적 도구에 집중했다면, 오늘은 조금 옆길로 새서 이 양자역학의 "불확정성"의 의미에 집중해보자. 이번 글에서는 양자역학의 불확정성을 설명해주는 양자역학의 핵심 원리, 하이젠베르크의 불확정성 원리에 관해 알아보고, 이 이론이 양자역학에 어떻게 적용되는지를 중심적으로 탐구해볼 것이다.

측정과 불확정성

우리가 생활에서 어떤 한 현상에 대한 여러 정보를 구하기 위해서는 앞에 지나가는 차의 속도를 재는 것과 같이 "측정"이라는 행위를 해야 한다.

측정을 할 때는 손이 미끄러져서 측정 장치를 더 늦게 누르는 것과 같이 오차가 무조건 수반될 수밖에 없다. (이 오차를 다루기 위해서 유효숫자라는 개념을 도입할 정도니 말 다했다.)

이와 같이 오차와 비슷하게 측정에서 정확하지 않은 정도를 불확정성이라고 한다. 보통 생활에서 뭔가 애매모호 아리까리한 것 같으면 "여기부터 여기까지", "이 정도?"와 같이 말하는 것 같이, 어떤 물리량 $A$의 불확정성은 보통 분산(물리량이 퍼져 있는 정도)의 제곱근인 표준편차 $\sigma _{A}$나 물리량의 범위 $\Delta A$로 나타낸다. (앞으로 $\sigma _{A}$, $\Delta A$ 표현을 섞어서 쓸 것인데, 헷갈리지 말고 둘 다 똑같이 불확정성을 의미한다고 생각하면 된다.)

불확정성 원리는 서로 두 다른 물리량의 불확정성의 관계에 관하여 기술하는 원리이다. 불확정성 원리에 따르면, 서로 다른 두 물리량을 동시에 정확히 측정할 수는 없으며, 그 불확정성의 곱은 특정 상수 이상의 값을 가진다. (이 상수가 무엇인지는 다음 글에서 다룬다.)

이번 글에는 불확정성 원리 중 위치-운동량 불확정성 원리와 에너지-시간 불확정성 원리에 관해 깊이 알아보자.

위치-운동량 불확정성 원리

위치-운동량 불확정성 원리란 위치의 불확정성 $\sigma _x$, 운동량의 불확정성 $\sigma _p$이 다음 관계를 만족한다는 원리이다.

$$\sigma _x \sigma _p \ge \frac{\hbar}{2}$$

($\Delta x \Delta p \ge \frac{\hbar}{2}$랑 같은 식이다. 어차피 둘 다 범위의 의미를 가지고 있어 두 식을 혼용해서 써도 괜찮다.)

왜 하필 위치와 운동량을 동시에 정확히 측정할 수 없는 것일까? 양자 입자의 관점에서 한번 살펴보자. 양자 입자는 물질파 이론에 따라 파동으로 해석할 수 있고, 앞에서 다루었던 파군의 개념으로 특정 범위에 국소화된 파군을 만들 수 있다.

파군의 예시로 아래 그림처럼 두 개의 파군을 살펴보자. 한 파군은 비교적 더 국소화되어 있고, 다른 파군은 덜 국소화되어 입자가 존재하는 범위가 더 넓다.

그럼 두 물질파의 위치 $x$와 파장 $\lambda$를 고려해보자. 아래 그림처럼 왼쪽 물질파는 오른쪽 물질파보다 비교적 더 좁고, 따라서 물질파의 존재하는 위치의 범위, 즉 위치 불확정성 $\sigma _{x}$는 왼쪽 물질파가 더 작다고 볼 수 있다.

그러나, 파장의 경우는 다르다. 왼쪽 물질파는 파군 내 파동의 주기 수가 오른쪽에 비해 훨씬 적고, 다르게 말하면 왼쪽 물질파에서는 파장을 정확하게 측정하기 위한 충분한 파가 없다. 따라서, 오른쪽 물질파가 왼쪽 물질파보다 파장을 더 정확하게 측정할 수 있다. (과학 실험에서 여러 번 실험을 수행하면 값이 더 정확해지는 것과 비슷한 느낌이다.)

드 브로이 물질파 식에 의해 물질파의 파장을 결정하면 물질파의 운동량을 결정할 수 있으므로, 운동량 불확정성 $\sigma _{p}$는 오른쪽 물질파가 더 작다고 볼 수 있다.

정리해보면, 물질파의 범위인 위치 불확정성이 커지면 운동량 불확정성이 작아지는 관계가 있다. 따라서, 위치와 운동량을 동시에 정확히 측정할 수 없는 것이다!

아쉽게도, 이 위치-운동량 불확정성 원리를 증명하려면 바로 앞 글에서 다루었던 Braket 표기와 Hermitian 연산자 개념을 활용해 보일 수 있는 "일반화된 불확정성 원리"를 써야 한다. 일반화된 불확정성 원리는 꽤 어렵기 때문에, 다음 글로 잠시 미뤄두고, 이번 글에서는 불확정성 원리가 무엇인지 이해하는 데 의의를 두자.

하이젠베르크의 현미경

위 설명을 들으면 머리로는 뭔 말인지 이해가 되지만, 뭔가 한번에 싹 와닿지는 않는다. 불확정성 원리를 더 잘 이해하기 위해서 비유를 들어보자.

우리가 어떤 물체의 위치를 알기 위해서는 위치를 측정해야 한다. 그리고, 물체의 위치를 측정하기 위해서는 우리가 직접 보아야 하고, 우리에게 물체가 보이기 위해서는 광자가 물체에 충돌한 뒤 우리 눈에 들어와야 한다. 정리해보면, 어떤 물체의 위치를 측정하기 위해서는 광자와 같은 여러 작은 입자들과의 상호작용이 있어야 한다.

우리가 야구공의 위치를 측정한다고 쳐 보자. 이 과정에서 야구공에 광자가 충돌하기는 하지만, 야구공에 비해 광자의 크기와 질량이 매우매우 커서 광자와의 충돌이 야구공의 위치를 많이 변화시키지는 않는다.

그러나, 미시 세계의 입자는 상황이 좀 다르다. 전자와 같은 미시 세계 입자는 광자와 비슷한 수준의 크기와 질량을 가지고 있어서, 전자가 광자랑 충돌하게 되면 전자가 운동하던 궤적이 바뀌게 된다! (이게 필자가 예전에 광양자설 때 언급한 콤프턴 산란이다.)

따라서, 빛이나 다른 전자를 전자에 충돌시키는 순간 미시 세계 입자의 운동량이 변화하게 되고, 결국 현재 미시 세계 입자의 위치와 운동량은 동시에 정확하게 알 수 없다. 따라서, 위치-운동량 불확정성 원리가 성립하게 된다.

에너지-시간 불확정성 원리

위치-운동량의 관계뿐만 아니라 에너지와 시간의 관계에 대해서도 불확정성 원리가 성립한다. 이를 에너지-시간 불확정성 원리라고 한다.

$$\sigma_{E} \sigma_{t} \ge \frac{\hbar}{2}$$

($\Delta$를 활용한 표기: $\Delta E \Delta t \ge \frac{\hbar}{2}$)

에너지-시간 불확정성 원리가 성립하는 이유 또한 위치-운동량 불확정성 원리와 비슷하다. 플랑크의 에너지 양자화설에 따르면 양자 입자에 대해 $\Delta E = h \Delta \nu$가 성립한다. 여기서, $\Delta t$가 작아진다면(측정하는 시간 간격이 짧다면) 파동의 진동수를 측정하기 위한 표본 수가 줄어들게 되고, 파동의 진동수가 덜 정확하게 측정되어 $\Delta \nu$가 더 커진다. 따라서, 에너지-시간 불확정성 원리가 성립하게 된다.

자유 입자에서의 에너지-시간 불확정성 원리

자유 입자(퍼텐셜이 0인 환경에 있는 입자)에 대해서 에너지-시간 불확정성 원리는 위치-운동량 불확정성 원리와 서로 동치이다. 왜 그런지 증명해보자!

일단, 자유 입자의 퍼텐셜 에너지가 0이므로, 자유 입자의 에너지는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$$E = T + U = \frac{p ^{2}}{2m} + 0 = \frac{p ^{2}}{2m}$$

양변의 전미분을 구해주자. (음함수 미분과 비슷한 개념)

$$dE = \frac{p}{m}dp$$

여기서, 에너지의 불확정성 $\Delta E$, 운동량의 불확정성 $\Delta p$는 매우 작은 값이기 때문에, 각각 미소 변화량 $dE$, $dp$로 근사할 수 있다. 따라서, 에너지 불확정성과 운동량 불확정성은 다음 관계를 가지고 있음을 알 수 있다.

$$\Delta E = \frac{p}{m}\Delta p$$

이제, 시간의 불확정성을 구해보자. 속력의 정의($v = \frac{\Delta x}{\Delta t}$)에 따르면, 다음 관계식이 성립한다.

$$\Delta t = \frac{\Delta x}{v}$$

분수의 위 아래에 자유 입자의 질량 $m$을 곱해주고, 운동량을 정의를 적어주면, 다음과 같이 시간의 불확정성을 표현할 수 있다.

$$\Delta t = \frac{\Delta x}{v} = \frac{m\Delta x}{mv} = \frac{m\Delta x}{p}$$

이제, 위에서 구한 에너지의 불확정성과 시간의 불확정성을 서로 곱해주면 에너지와 시간의 불확정성의 곱이 위치와 운동량의 불확정정성의 곱과 같음을 알 수 있다.

$$\Delta E \Delta t = \frac{p}{m}\Delta p \frac{m\Delta x}{p} = \Delta x \Delta p$$

결론적으로, 위치-운동량 불확정성 원리를 적용하면 다음과 같이 에너지-시간 불확정성 원리를 증명할 수 있다.

$$\Delta E \Delta t = \Delta x \Delta p \ge \frac{\hbar}{2}$$

불확정성 원리의 적용 - 파군

불확정성 원리에 관해서 알아보았으니, 이제 실제 물질파가 위치-운동량 불확정성 원리를 만족하는지 한 번 확인해보자.

예전에 파군에 관해 살펴보았을 때 가우스 함수 따라 진폭을 가지는 파동을 무한 개 중첩시키면 다음과 같이 국소화된 파동이 얻어진다고 언급했던 적이 있다.

따라서, 우리는 국소화된 파군을 만들기 위해서 수학적으로 다루기 쉬우면서도 물리적으로 의미 있는 가우스 함수 형태의 파동함수를 실제로 계산해볼거다.

우선, 파수가 조금씩 차이가 나는 파동을 여러 개 합쳐야 하므로, 파수에 따라 파동의 진폭이 다음과 같은 가우스 함수를 따른다고 정의해보자.

$$A(k) = \left( \frac{2\alpha}{\pi} \right)^{1/4} e^{-\alpha(k-k_0)^2}$$

($k_{0}$는 파수의 중심값, $\alpha$는 파동이 얼마나 퍼져 있는지를 결정하는 인수)

이제, 파동을 직접 더해보자. 여기서, 푸리에 적분을 활용하여 시그마를 k-공간 내 적분으로 바꿔주면 편리하게 계산할 수 있다.

$$\psi (x) = \sum_{i} A(k_i )cos(k_i x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int _{-\infty} ^{\infty} A(k)cos(k x)dk$$

오일러 공식을 써서 식을 간단하게 바꿔주자.

$$\begin{aligned}
\psi (x) &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int _{-\infty} ^{\infty} A(k) e ^{ikx} dk = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} \left( \frac{2\alpha}{\pi} \right)^{1/4} e^{-\alpha(k-k_0)^2} e^{ikx} dk \\
&= e^{ik_{0} x} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} \left( \frac{2\alpha}{\pi} \right)^{1/4} e^{-\alpha(k-k_0)^2} e^{ix(k- k_{0})} dk
\end{aligned}$$

$k- k_{0}$를 $k'$라고 치환하고, 완전제곱꼴로 정리해주자.

$$\begin{aligned}
\psi (x) &= e^{ik_{0} x} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} \left( \frac{2\alpha}{\pi} \right)^{1/4} e^{-\alpha k'^2} e^{ik'x} dk \\
&= e^{ik_{0} x} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} \left( \frac{2\alpha}{\pi} \right)^{1/4} e^{-\alpha k'^2 + ik'x} dk \\
&= e^{ik_{0} x} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} \left( \frac{2\alpha}{\pi} \right)^{1/4} e^{-\alpha (k' - \frac{i}{2\alpha} x) ^{2} - \frac{x ^{2}}{4\alpha}} dk \\
&= e^{ik_{0} x - \frac{x ^{2}}{4\alpha}} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} \left( \frac{2\alpha}{\pi} \right)^{1/4} e^{-\alpha (k' - \frac{i}{2\alpha} x) ^{2}} dk
\end{aligned}$$

가우스 적분 공식($\int_{-\infty} ^{\infty} e ^{-ax ^{2}} dx = \sqrt{\frac{\pi}{a}}$)을 활용하면, 파군의 최종적인 식은 다음과 같다.

$$\begin{aligned}
\psi (x) &= e^{ik_{0} x - \frac{x ^{2}}{4\alpha}} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} \left( \frac{2\alpha}{\pi} \right)^{1/4} e^{-\alpha (k' - \frac{i}{2\alpha} x) ^{2}} dk \\
&= e^{ik_{0} x - \frac{x ^{2}}{4\alpha}} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \left( \frac{2\alpha}{\pi} \right)^{1/4} \sqrt{\frac{\pi}{\alpha}} \\
&= \left( \frac{1}{2\alpha\pi} \right)^{1/4} e^{ik_0x} e^{-\frac{x^2}{4\alpha}}
\end{aligned}$$

실제로 Desmos 그래프 그리는 툴에 위 식 비슷하게 넣으면 다음과 같이 그래프가 그려진다.

파군의 식을 구했으므로, 이제 이 파군의 위치 불확정성과 운동량 불확정성을 구해 보자.

먼저, 보른의 해석에 따르면 파동함수의 절댓값 제곱은 파동이 존재할 확률밀도함수를 나타내므로, 파동함수의 절댓값 제곱을 계산해보면 다음과 같다.

$$|\psi|^2 = \psi^* \psi = \left( \frac{1}{2\alpha\pi} \right)^{1/2} e^{-\frac{x^2}{2\alpha}}$$

이 식을 일반적인 가우스 분포 식 $e^{-\frac{x^2}{2\sigma_x^2}}$과 비교하면, 위치 표준편차 $\sigma$ 자리에 $\sqrt{\alpha}$가 들어가 있음을 알 수 있다. 따라서, $\sigma _x = \sqrt{\alpha}$이다.

드 브로이의 물질파 이론에 따르면 운동량과 파수는 $p = \hbar k$의 관계를 가지고 있으므로, 파수의 불확정성을 일단 먼저 구한 다음에 운동량 불확정성을 구하자. 여기서, 위에서 보았던 파동의 진폭 식의 절댓값 제곱도 파수 확률 밀도를 나타내므로, 진폭의 절댓값 제곱을 계산하면 다음과 같다.

$$|A|^2 = A^* A = \left( \frac{2\alpha}{\pi} \right)^{1/2} e^{-2\alpha(k-k_0)^2}$$

이 식도 마찬가지로 일반적인 가우스 분포 식 $e^{-\frac{x^2}{2\sigma_x^2}}$과 비교하면, 표준편차 $\sigma$ 자리에 $\frac{1}{2\sqrt{\alpha}}$가 들어가 있음을 알 수 있다. 따라서, $\sigma _k = \frac{1}{2\sqrt{\alpha}}$이다. 위에서 언급했듯 $p = \hbar k$이므로, 운동량의 불확정성 $\sigma _p = \frac{\hbar}{2\sqrt{\alpha}}$이다.

이제, 위치와 운동량 불확정성을 곱하면 다음과 같이 $\frac{\hbar}{2}$보다 커 가우스 진폭을 가진 파동을 중첩시킨 파군은 위치-운동량 불확정성 원리를 만족함을 알 수 있다.

$$\sigma _x \sigma _p = \sqrt{\alpha} \frac{\hbar}{2\sqrt{\alpha}} = \frac{\hbar}{2} \ge \frac{\hbar}{2}$$

$$\therefore \sigma _x \sigma _p \ge \frac{\hbar}{2}$$

결론

오늘 우리는 불확정성 원리에 관하여 알아보았다. 불확정성 원리에 따르면, 서로 다른 두 물리량을 동시에 정확히 측정할 수는 없으며, 그 불확정성의 곱은 특정 상수 이상의 값을 가진다. ​이 불확정성 원리를 통해 물리학자들이 입자를 서술하는 방식이 다음과 같이 변화하게 되었다.

1. 고전역학적으로 결정되어 있는 물질의 운동 개념을 버리고, 물질의 운동 궤도의 불확정성이 일반적인 모습임을 받아들인다.
2. 입자의 위치, 궤적을 생각하기보다는 특정 위치에서 입자를 찾을 수 있는 확률 분포에 집중한다.

결국 우리가 앞에서 다루었던 보른의 해석은 단순한 확률 계산법이 아니라 안개처럼 흩뿌려진 입자를 해석하는 중요한 도구였던 것이다! 이렇게 고전역학적인 편견을 버리고 양자역학의 불확정성을 인정하는 순간, 우리는 미시 시계의 뭔가 이상하지만 어떻게든 잘 물려 돌아가는 미친 질서를 비로소 이해할 수 있게 된다.

참고 자료

• Oxtoby, D. W., Gillis, H. P., Campion, A., & Butler, L. J. (2016). Principles of modern chemistry (7th ed.). Boston, MA: Cengage Learning.
• Beiser, A. (2003). Concepts of modern physics (6th ed.). McGraw-Hill.
• "불확정성 원리 - 나무위키" 중 "4.1. 하이젠베르크의 현미경" 문단 (https://namu.wiki/w/%EB%B6%88%ED%99%95%EC%A0%95%EC%84%B1%20%EC%9B%90%EB%A6%AC#s-4.1)

연습 문제

하이젠베르크 불확정성 원리 연습문제일까요? (단, 아래 문제에서 양성자의 질량 $m_{p} = 1.672 \times 10 ^{-27} \, \mathrm{kg}$로 계산한다.)
유효 숫자 근사가 필요한 답은 모두 유효 숫자 3자리로 표기하시오.

1. 양성자의 위치를 $\pm 1.00\times 10 ^{-11}$의 불확정도로 측정하였을 때, 다음 물음에 답하시오. (단, 이 문제에서 상대론적 효과는 무시하시오.)
   1. 양성자의 위치를 측정한 그 순간의 양성자 속력의 불확정성을 구하시오.
   2. 양성자의 위치를 측정한 지 1.00초 후의 양성자 위치의 불확정성을 구하시오.
   3. 위치를 측정한 그 순간의 위치 불확정성의 크기와 1.00초 후의 위치 불확정성의 크기를 비교하고, 차이가 발생한 이유를 서술하시오.
      (문제 출처: Beiser, A. (2003). Concepts of modern physics (6th ed.). McGraw-Hill. p.112, Example 3.6)
2. 질량이 m, 용수철 상수가 k인 조화 진동자의 진동수가 $\nu = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{C}{m}}$일 때, 진동자의 에너지는 $E = \frac{p^{2}}{2m} + \frac{1}{2}{k x^{2}}$이다. 불확정성 원리를 활용해 $E$를 $x$에 관한 식으로만 표현하고, $\frac{dE}{dx} = 0$을 활용해 조화 진동자의 최소 에너지를 구하시오.
   (문제 출처: Beiser, A. (2003). Concepts of modern physics (6th ed.). McGraw-Hill. p.118, Exercise 39)