\(e\)의 초월성 증명
흔히 자연상수라고도 하는 \( e\) 는
\[ e = \lim_{n \to \infty} \left( 1+ \frac{1}{n} \right)^n = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} \]
의 극한으로 정의되는 상수이다.
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어떤 수 \( a \)가 초월수라 함은 \( a \)를 해로 가지는 정수 계수 다항방정식이 존재하지 않다는 뜻이다. 즉 다음을 만족하는 \( n \in
시간복잡도
백준같은 곳에서 알고리즘을 공부하다 보면 필연적으로 시간복잡도라는 개념을 한 번쯤은 보게 된다. 단순히 어떤 알고리즘의 시간복잡도가 \(\mathcal{O}(n^2)\)라는 것을 입력의 크기가 \(n\)일 때 최악의 경우에 실행 시간이 \(n^2\)에 비례한다는 것만 알아도 알고리즘 문제를 푸는 것에는 큰 영향이 없지만, 이 글에서는 시간복잡도의 수학적 정의에 대해서
코시 응집 판정법
💡Theorem
\( \{ a_n \}_{n=1}^{\infty}\,\,\, satisfy: \)
1. \( a_n \geq 0 \)
2. \( a_{n+1} \leq a_n \)
Than
\( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n \,\, \) converge \( \,\, \displaystyle \Leftrightarrow \sum_{m=0}^{\infty} 2^m a_{2^m} \,\, \) converge
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증명
처음으로 \( \displaystyle \sum_{m=0}^{\infty} 2^
시리즈 | FA - 6. 합성곱과 좋은 핵
오늘은 가볍게 Elias M. Stein과 Rami Sakarchi의 [STEIN 푸리에 해석학] 에서 소개된 합성곱과 핵, 좋은 핵에 대해서 알아봅시다.
푸리에 해석 6
합성곱과 좋은 핵
먼저, 합성곱에 대해 알아봅시다.
📖정의
2\(\pi\)주기 함수들 \(f\)와 \(g\)에 대해 합성곱(∗)을 다음과 같이 정의한다.
$$(f \ast g)(x)=\frac{1}{2\
시리즈 | Integration - 오늘의 적분 4
간결할수록 어려울 수 있다.
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\[ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \{ \tan x \} dx\]
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여기서 \(\{ \}\)란 어떤 실수의 소수부분을 의미하며 엄밀히 쓰자면 다음을 만족하는 어떤 정수 \(n\)이 존재하여
\[ n \leq x < n+1 \,\,\, \Leftrightarrow \,\,\, \{ x\} = x-n \]
라 쓸 수 있다.
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그러니 일단
\[ \text{let}
오늘의 적분2 연습 문제 Solution
\[ I = \int_{0}^{\infty} \frac{\ln (1+x^2)}{x^2} dx \]
분모를 없에기 위해 \( I(a) = \displaystyle \int_{0}^{\infty} \frac{\ln (1+ax^2)}{x^2} dx \,\,\, \) 라 하자.
\[ I'(a) = \int_{0}^{\infty} \frac{1}{x^2} \frac{x^2}{(1+ax^2)} dx = \int_{0}
시리즈 | Integration - 오늘의 적분 3
오늘은 조금은 클래식하고 간단한 지수 적분을 살펴본다.
\[ I = \int_{0}^{\infty} \frac{x^2}{(1 + e^x)^2} dx \]
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일단 가장 먼저 생각할 수 있는 것은 \( e^x \) 를 곱한 뒤 치환하는 것인데 그 방법은 \(x^2\) 이 \( \ln^2 x \) 가 되어 분자와 겹치며 적분하기