양자화학 광전 효과 연습문제 Solution

양자화학 시리즈 2편 양자화학 광전 효과 연습문제의 해설입니다.

1. 일함수가 $4.10\, \rm{eV}$인 알루미늄 금속에 단색광이 입사하였다. 이 때, 방출된 광전자의 최대 운동 에너지가 $3.0\times 10^{-19}\, \rm{J}$이라면, 단색광의 파장을 nm 단위로 구하시오. (반올림하여 일의 자리까지 나타내시오.)

답) $208 \, \rm{nm}$

풀이)
일함수 $\phi$의 단위를 eV에서 J로 변환한 결과는 다음과 같다. (여기서, 1eV는 (전자의 전하량에서 단위를 뗀 수)J과 동일하다.)
$$\phi = 4.10\, \rm{eV} = 4.10\, \rm{eV} \times \frac{1.602 \times 10^{-19} \, \rm{J}}{1 \, \rm{eV}} = 6.5682 \times 10 ^{-19} \, \rm{J}$$
이제, 아래 광전 효과 에너지 보존 식에 값을 대입해보자.
$$h \nu = h \frac{c}{\lambda} = \phi + K_{max}$$
$$6.626 \times 10^{-34} \, \rm{J⋅s} \times \frac{3 \times 10 ^8 \, \rm{m/s}}{\lambda} = 6.5682 \times 10 ^{-19} \, \rm{J} + 3.0\times 10^{-19}\, \rm{J}$$
위 식을 $\lambda$에 관해 정리한 다음 계산한 결과는 다음과 같다.
$$\lambda = 2.0775 \times 10 ^{-7} \, \rm{m} = 207.75 \, \rm{nm} \approx 208 \, \rm{nm}$$

2. 실제 광전 효과 실험에서는 빛이 조사되는 금속 판과 반대편 금속 판 사이에 전위차를 걸어 광전자의 최대 운동 에너지를 측정한다. 이때, 광전 효과로 인해 측정되는 전류가 0일(광전자가 방출된 이후 퍼텐셜에 의해 원래 금속 판으로 돌아갈) 최소 전위차를 저지 전압($V_{s}$)이라고 한다.

1. 최대 운동 에너지를 가진 광전자의 에너지 보존 식을 활용하여 저지 전압과 최대 운동 에너지 사이 관계식을 작성하시오.
2. 파장이 $400\, \rm{nm}$인 단색광을 금속에 입사하였을 때, 저지 전압이 $2\, \rm{V}$였다. 금속의 문턱 진동수를 구하시오. (최종 결과는 유효 숫자 세자리로 나타내시오.)

답)
a. $K_{max} = eV_{s}$
b. $2.66 \times 10 ^{14} \, \rm{s ^{-1}}$

풀이)
a. 전위차 $V$를 걸어주었을 때, 최대 운동 에너지를 가지고 방금 방출된 광전자가 반대편 금속 판으로 도달하기 위하여 극복해야 하는 에너지는 $U = eV$이다. 따라서, 광전자가 반대편 금속 판으로 도달하지 못하려면 최대 운동 에너지가 극복해야 하는 에너지보다 적어야 하고, 따라서 다음 관계가 성립한다.
$$eV \ge K_{max}$$
저지 전압은 위 관계를 만족하기 위한 최소 전위차이므로, 저지 전압 $V_{s}$과 최대 운동 에너지 $K_{max}$ 사이의 관계식은 다음과 같다.
$$eV_{s} = K_{max}$$

b. 앞의 a에서 구한 식에 따르면, 파장이 $400\, \rm{nm}$인 단색광을 금속에 입사하였을 때 광전자의 최대 운동 에너지 값은 다음과 같다.
$$K_{max} = eV_{s} = 1.602 \times 10^{-19} \, \rm{C} \times 2\, \rm{V} = 3.204 \times 10 ^ {-19} \, \rm{J}$$
광전 효과 에너지 보존 식에 값을 대입하여 일함수 값을 구한 결과는 다음과 같다.
$$h \nu = h \frac{c}{\lambda} = \phi + K_{max}$$
$$6.626 \times 10^{-34} \, \rm{J⋅s} \times \frac{3 \times 10 ^8 \, \rm{m/s}}{400 \times 10 ^{-9} \, \rm{m}} = \phi + 3.204 \times 10 ^ {-19} \, \rm{J}$$
$$\therefore \phi = 1.7655 \times 10^{-19} \, \rm{J}$$
이제, $\phi = h \nu _{0}$ 식을 활용하여 금속의 문턱 진동수 $\nu _{0}$를 구하면 다음과 같다.
$$\nu _{0} = \frac{1.7655 \times 10^{-19} \, \rm{J}}{6.626 \times 10^{-34} \, \rm{J⋅s}} = 2.66450 \times 10 ^{14} \, \rm{s ^{-1}} \approx 2.66 \times 10 ^{14} \, \rm{s ^{-1}}$$