양자화학 불확정성 원리 연습문제 Solution

양자화학 5.1편 하이젠베르크 불확정성 원리 연습문제의 Solution입니다.

1. 양성자의 위치를 $1.00\times 10 ^{-11} \, \mathrm{m}$의 불확정도로 측정하였을 때, 다음 물음에 답하시오. (단, 이 문제에서 상대론적 효과는 무시하시오.)
   1. 양성자의 위치를 측정한 그 순간의 양성자 속력의 불확정성을 구하시오.
   2. 양성자의 위치를 측정한 지 1.00초 후의 양성자 위치의 불확정성을 구하시오.
   3. 위치를 측정한 그 순간의 위치 불확정성의 크기와 1.00초 후의 위치 불확정성의 크기를 비교하고, 차이가 발생한 이유를 서술하시오.
      (문제 출처: Beiser, A. (2003). Concepts of modern physics (6th ed.). McGraw-Hill. p.112, Example 3.6)

답) a. $3.16 \times 10 ^{3} \, \mathrm{m/s}$, b. $3.16 \times 10 ^{3} \, \mathrm{m}$, c. 풀이 참조

풀이)

a. 시간 t=0일 때의 양성자 위치의 불확정성을 $\Delta x_{0}$라 하자. 그러면, t=0일때 위치-운동량 불확정성 원리를 적용해준다면 t=0일 때의 운동량 불확정성을 다음과 같이 구할 수 있다.

$$\Delta p \ge \frac{\hbar}{2\Delta x_{0}}$$

$p=mv$이므로, 속력 불확정성은 다음과 같이 구할 수 있다.

$$\Delta v = \frac{\Delta p}{m} \ge \frac{\hbar}{2m\Delta x_{0}}$$

이제, 상수와 불확정성 값을 대입해주면, 양성자의 위치를 측정한 그 순간의 양성자 속력의 불확정성은 다음과 같다.

$$\Delta v \ge \frac{\hbar}{2m\Delta x_{0}} = \frac{1.055 \times 10 ^{-34} \, \mathrm{J·s}}{2\times (1.672 \times 10 ^{-27} \, \mathrm{kg}) \times (1.00\times 10 ^{-11} \, \mathrm{m})} \approx 3.16 \times 10 ^{3} \, \mathrm{m/s}$$

b. $\Delta x = t\Delta v$이므로, t초 이후에 위치를 측정하였을 때 불확정성은 다음보다 작을 수 없다. (여기서, 위 a에서 구한 속력 불확정성을 대입해주자.)

$$\Delta x = t\Delta v \ge \frac{\hbar t}{2m\Delta x_{0}}$$

이제, 값을 대입해주면, 양성자의 위치를 측정한 지 1.00초 후의 양성자 위치의 불확정성은 다음과 같다.

$$\Delta v \ge \frac{\hbar t}{2m\Delta x_{0}} = \frac{(1.055 \times 10 ^{-34} \, \mathrm{J·s}) \times (1 \, \mathrm{s})}{2\times (1.672 \times 10 ^{-27} \, \mathrm{kg}) \times (1.00\times 10 ^{-11} \, \mathrm{m})} \approx 3.16 \times 10 ^{3} \, \mathrm{m}$$

c. 위치-운동량 불확정성 원리에 의해 국소화된 양성자의 물질파 파군을 만들기 위해서는 다양한 운동량을 가지는 파동 여러개가 중첩되어야 한다. 여기서, 이 서로 다른 속도로 움직이는 여러 파동 성분들이 시간이 지나며 흩어지면서, 원래는 좁게 모여 있던 파동 묶음이 점점 넓게 퍼지고, 따라서 양성자의 위치를 측정한 지 1.00초 뒤의 불확정성이 더 큰 것이다.

2. 질량이 m, 용수철 상수가 k인 조화 진동자의 진동수가 $\nu = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{C}{m}}$일 때, 진동자의 에너지는 $E = \frac{p^{2}}{2m} + \frac{1}{2}{k x^{2}}$이다. 불확정성 원리를 활용해 $E$를 $x$에 관한 식으로만 표현하고, $\frac{dE}{dx} = 0$을 활용해 조화 진동자의 최소 에너지를 구하시오.
   (문제 출처: Beiser, A. (2003). Concepts of modern physics (6th ed.). McGraw-Hill. p.118, Exercise 39)

답) $E_{\min} = \frac{h\nu}{2}$

풀이)
불확정성 원리에 따라, 위치와 운동량의 불확정성에 대해 다음이 성립한다.

$$\Delta x \Delta p \ge \frac{h}{4\pi}$$

여기서, 우리는 최소 에너지의 스케일을 구하는 것이므로, $\Delta x \approx x$, $\Delta p \approx p$로 근사할 수 있다.

$$xp \approx \Delta x \Delta p \ge \frac{h}{4\pi}$$

따라서, 운동량은 다음과 같다.

$$p \ge \frac{h}{4\pi x} $$

이제 에너지를 위치 $x$에 대한 함수로 나타내 보자.
운동에너지와 퍼텐셜 에너지를 합하면 다음과 같다.

$$E(x) = \frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2}Cx^2$$

여기에 $p$를 대입하면 다음과 같다.

$$E(x) = \frac{1}{2m}\left(\frac{h}{4\pi x}\right)^2 + \frac{1}{2}Cx^2 = \frac{h^2}{8\pi^2 m}\frac{1}{x^2} + \frac{1}{2}Cx^2$$

이제 $E(x)$가 최소가 되는 지점을 찾기 위해 미분해보자. 여기서, 최솟값 조건 $\frac{dE}{dx}=0$을 적용하면 다음과 같다.

$$\frac{dE}{dx} = -\frac{h^2}{4\pi^2 m}\frac{1}{x^3} + Cx = 0$$

$$Cx = \frac{h^2}{4\pi^2 m}\frac{1}{x^3}$$

$$Cx^4 = \frac{h^2}{4\pi^2 m}$$

$$x^2 = \frac{h}{2\pi \sqrt{mC}}$$

이 값을 다시 $E(x)$에 대입하면,

$$\begin{aligned}
E_{\min}
&= \frac{h^2}{8\pi^2 m}\cdot \frac{2\pi \sqrt{mC}}{h} + \frac{1}{2}C \cdot \frac{h}{2\pi \sqrt{mC}} \\
&= \frac{h}{2\pi}\sqrt{\frac{C}{m}}
\end{aligned}$$

여기서 $\nu = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{C}{m}}$이므로 조화 진동자의 영점 에너지는 다음과 같다.

$$E_{\min} = \frac{h\nu}{2}$$