양자화학 물질파 연습문제 Solution

양자화학 3편 물질의 파동성 연습문제 Solution입니다!

1. 질량이 $150 \, \mathrm{g}$인 야구공이 $130 \,\mathrm{km/h}$의 속도로 날아가고 있다. 이 야구공의 드 브로이 파장을 구하고, 날아가는 야구공의 파동성을 느낄 수 없는 이유를 구한 값을 바탕으로 설명하시오.

답) $1.22\times 10 ^{-34} \, \mathrm{m}$, 드 브로이 물질파 파장이 너무 짧으므로 날아가는 야구공의 파동성을 느낄 수 없음.

풀이)
속력이 광속에 비해 무시해도 괜찮을 정도로 매우 느리므로 ($v << c$), 운동량을 구할 때 고전역학적 식을 사용하여도 무방하다. 고전역학적인 운동량을 구하면 다음과 같다.
$$\begin{aligned}
p&=mv=(150\,\mathrm{g} \times \frac{10 ^{-3}\,\mathrm{kg}}{1\,\mathrm{g}}) \times (130\,\mathrm{km/h} \times \frac{10 ^{3}\,\mathrm{m}}{1\,\mathrm{km}} \times \frac{1\,\mathrm{h}}{3600\,\mathrm{s}}) \\
&= 5.146667 \,\mathrm{kg⋅m/s}
\end{aligned}$$
여기에, 드 브로이 물질파 식($\lambda=\frac{h}{p}$)을 적용해보자.
$$\lambda=\frac{6.626 \times 10 ^{-34} \,\mathrm{J⋅s}}{5.146667 \,\mathrm{kg⋅m/s}} = 1.22326 \times 10 ^{-34} \, \mathrm{m} \approx 1.22\times 10 ^{-34} \, \mathrm{m}$$
따라서, 야구공의 드 브로이 파장은 $1.22\times 10 ^{-34} \, \mathrm{m}$이며, 양성자보다 무려 약 $10 ^{19}$배나 짧은 길이이다. 이 정도면 너무 짧기 때문에, 날아가는 야구공의 파동성을 느낄 수 없다.

2. 정지 질량이 $1.672 \times 10 ^{-27} \, \mathrm{kg}$인 양성자의 드 브로이 파장이 양성자의 지름 정도인 $1.000 \times 10 ^{-15} \, \mathrm{m}$일 때, 양성자의 운동 에너지를 구하시오.

답) $9.99 \times 10 ^{-11} \, \mathrm{J}$

풀이)
운동 에너지를 구할 때 정지 에너지 항을 무시해도 되는 지 확인하기 위하여, 양성자의 정지 에너지를 계산하면 다음과 같다.
$$E_{0} = mc ^{2} = 1.672 \times 10 ^{-27} \, \mathrm{kg} \times (3 \times 10 ^{8} \, \mathrm{m/s}) ^{2} = 1.5048 \times 10 ^{-10} \, \mathrm{J}$$
그리고, 드 브로이 물질파 식($\lambda=\frac{h}{p}$)을 통해 구한 양성자의 운동량은 다음과 같다.
$$p = \frac{h}{\lambda} = \frac{6.626 \times 10 ^{-34} \,\mathrm{J⋅s}}{1.000 \times 10 ^{-15} \, \mathrm{m}} = 6.626 \times 10 ^{-19} \, \mathrm{kg⋅m/s}$$
따라서, 운동량과 광속을 곱한 값은 다음과 같다.
$$pc = 6.626 \times 10 ^{-19} \, \mathrm{kg⋅m/s} \times 3 \times 10 ^{8} \, \mathrm{m/s} = 1.9878 \times 10 ^{-10} \, \mathrm{J}$$
여기서, $pc$와 정지 에너지와 비슷한 값을 가지고 있기 때문에, 상대론적인 효과를 고려하여 운동 에너지를 계산하여야 한다. 따라서, $E=K+mc ^{2}$와 $E ^{2} = (E_{0}) ^{2} + (pc) ^{2}$가 성립하므로, 다음과 같이 양성자의 운동 에너지를 구할 수 있다.
$$\begin{aligned}
K &= \sqrt{(E_{0}) ^{2} + (pc) ^{2}} - mc ^{2} = (\sqrt{(1.5048) ^{2} + (1.9878) ^{2}} - 1.5048) \times 10 ^{-10} \, \mathrm{J} \\
&= 9.988345 \times 10 ^{-11} \, \mathrm{J} \approx 9.99 \times 10 ^{-11} \, \mathrm{J}
\end{aligned}$$

3. 이번에는 진폭이 같은 파동 3개를 합친 파군의 군속도를 구해보자. 아래 파동 $y_{-1}$, $y_{0}$, $y_{1}$를 더한 파군 $Y = y_{-1}+y_{0}+y_{1}$의 식을 포락선이 구별되도록 대수적으로 구하고, 군속도(포락선의 속도)를 위에서 구한 파동의 군속도 공식과 비교하시오.

$$\begin{aligned}
y_{-1} &= A \mathrm{sin} ((k - \Delta k)x - (\omega - \Delta \omega ) t) \\
y_{0} &= A \mathrm{sin} (kx - \omega t) \\
y_{1} &= A \mathrm{sin} ((k + \Delta k)x - (\omega + \Delta \omega ) t)
\end{aligned}$$

답) $Y=A \mathrm{sin} (kx - \omega t) (1 + 2\mathrm{cos} (\Delta k x - \Delta \omega t))$, $v_{g} = \frac{\Delta \omega }{\Delta k}$

풀이)
먼저, $y_{-1} + y_{1}$를 구해보자. $y_{0}$은 계산의 편의성을 위해 나중에 더한다.
$$\begin{aligned}
y_{-1} + y_{1}
&= A \mathrm{sin} ((k - \Delta k)x - (\omega - \Delta \omega) t) + A \mathrm{sin} ((k + \Delta k)x - (\omega + \Delta \omega) t) \\
&= 2A \mathrm{sin} (kx - \omega t) \mathrm{cos} (\Delta k x - \Delta \omega t)
\end{aligned}$$
이제 $y_{0}$를 마저 더해서 $Y = y_{-1}+y_{0}+y_{1}$를 구해주자.
$$\begin{aligned}
Y = y_{-1} + y_{1} + y_{0}
&= 2A \mathrm{sin} (kx - \omega t) \mathrm{cos} (\Delta k x - \Delta \omega t) + A \mathrm{sin} (kx - \omega t) \\
&= A \mathrm{sin} (kx - \omega t) (1 + 2\mathrm{cos} (\Delta k x - \Delta \omega t))
&= [A(1 + 2\mathrm{cos} (\Delta k x - \Delta \omega t))] \mathrm{sin} (kx - \omega t)
\end{aligned}$$
여기서, 포락선은 파수가 더 작아 파장이 더 긴 항인 $A(1 + 2\mathrm{cos} (\Delta k x - \Delta \omega t))$ 항이다. 위에서 구한 $Y$의 개형은 대략적으로 아래 사진과 같다.

군속도는 포락선의 속력이므로, 군속도는 다음과 같으며, 우리가 알고 있는 군속도 공식 $v_{g} = \frac{\Delta \omega }{\Delta k} \approx \frac{d\omega }{dk}$와 잘 맞는다.
$$v_{g} = \frac{\Delta \omega }{\Delta k}$$