양자화학 파동함수 연습문제

양자화학 4편 파동함수와 연산자 글의 연습문제입니다.

1. 다음 파동함수가 행실 좋은 파동함수인지 판별하시오. 그리고, 행실 좋은 파동함수인 경우 규격화 상수를 곱해 그 파동함수를 규격화하시오.
   1. $y=\mathrm{sech} x$
   2. $y=|x|$
   3. $y = \mathrm{sin} x$
   4. $y = e ^{-x ^{2}}$ (단, $\int_{-\infty} ^{\infty} e ^{-ax ^{2}} dx = \sqrt{\frac{\pi}{a}}$이다.)
   5. $x ^{2} + y ^{2} = 1$
2. 어떤 물질파의 파동함수는 $\psi (x) = \mathrm{sin} 3x \; (단, \, -3\pi \le x \le 3\pi)$이다. 이 파동함수를 정규화하고, 다음 값을 구하시오.
   1. $-\pi \le x \le \pi$의 범위에 입자가 존재할 확률
   2. $-\pi \le x \le \pi$의 범위에서 운동량 제곱의 기댓값
3. 다음 함수가 주어진 연산자의 고유함수인지 판별하고, 고유함수가 맞다면 그 고윳값을 구하시오.
   1. $f(x) = 2x ^{3} + 6$, 연산자 $\frac{\partial}{\partial x}$
   2. $g(x) = \mathrm{tan} x$, 연산자 $\frac{\partial}{\partial y}$
   3. $h(x) = \mathrm{sin} kx$, 운동량 연산자 $\hat{p}$
4. 다음 교환자를 계산하시오. 그리고, 주어진 두 연산자는 교환 가능한지 판별하시오.
   1. $[x, \hat{p}]$
   2. $[x, \frac{\partial}{\partial x}]$
   3. $[x, \hat{H}]$
5. 상수 L과 자연수 n에 대해, 퍼텐셜이 0인 어떤 자유 입자의 n번째 상태에서 파동함수가 $\psi_{n} (x) = \sqrt{\frac{2}{L}} \mathrm{sin} (\frac{n\pi}{L} x) \; (\text{단,}\, 0 \le x \le L)$이다. 물음에 답하시오.
   1. $\psi_{n}$의 해밀토니안 고윳값을 n과 L에 관한 식으로 구하시오.
   2. $\psi_{n}$를 선형 조합한 파동함수 $\Psi = c_{1} \psi_{1} + c_{2} \psi_{2} + c_{3} \psi_{3}$의 해밀토니안 기댓값 $\braket{\hat{H}}$을 구하시오.
   3. 위 b번 계산결과를 바탕으로 $c_{1}$, $c_{2}$, $c_{3}$의 의미를 서술하시오.
6. 본문 내 Hermitian 연산자의 성질 2로 언급된 "Hermitian 연산자에 의해 서로 다른 고윳값을 가지는 두 고유함수는 서로 직교함"을 증명하시오.
7. 연산자 $\hat{a}=\frac{1}{\sqrt{2m\hbar w}} (i\hat{p} + mwx)$의 수반 연산자를 구하시오.
8. 에너지 연산자 $\hat{E} = i\hbar\frac{\partial}{\partial x}$가 Hermitian 연산자인지 판별하시오.