오늘의 적분'
이 글에선 디리클레 적분의 다양한 해법을 살펴본다.
💡$$\int_0^{\infty}\frac{\sin x}{x}dx$$
이 적분은 $\frac{\pi}{2}$로 수렴함이 잘 알려져있는 유명한 적분이다.
수렴판정을 하려 할 때 바로 절대수렴판정을 쓰려 하면 문제가 생긴다.
$$\int_0^{M}\left| \frac{\sin x}{x} \right| dx \leq \int_0^{M}
Kim Kyudong
Basel Problem
\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\]
이 값을 닫힌 형식으로 구하라.
정답부터 말하자면 \[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi ^2}{6}\]
이 문제는 오일러가 해결한 것으로 유명한 바젤 문제이다. 특히 대수 수식에서 $\pi$가 나왔다는 점에서 유명하다. 어쩌다가 이런 결과가 나왔을까? 이 글에서는 오일러가
시리즈 | FA - 9. 푸리에 급수의 점별수렴
오늘은 Rudin의 [Principle of Mathematical Analysis]에서 소개된 푸리에 급수가 점별수렴하는 조건에 대해 봅니다.
앞선 글들에서 확인한 푸리에 급수의 수렴성은 다음과 같습니다:
FA-4: 함수들이 매끄러우면 매끄러울수록 푸리에 급수가 원래 함수로 잘 수렴한다.
(푸리에 계수의 합이 절대수렴하면 그 함수의 푸리에 급수는 함수가 연속인 점들에서 원래 함수로 수렴한다. 이때, 푸리에 계수의
자연수의 역수들의 합 얘기
이 글에선 자연수의 역수들의 합에 대한 이런저런 얘기를 합니다.
$$\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+ \frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\cdots$$
(조화급수)
조화급수의 부분합을 조화수라고 부르고 이는 다음과 같습니다.
$$H_N=\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n}$$
조화급수는 해석학에서 다루는 급수이론의 근간을 이루는 급수로서 발산함이
시리즈 | FA - 8. 푸리에 급수의 평균제곱수렴성
FA-2 글에서 어떤 구간에서 정의된 리만적분 가능한 함수들이 내적공간을 이룬다는 것을 얘기하며 평균제곱수렴을 언급했습니다.
그래서 오늘은 드디어 [STEIN 푸리에 해석학] 에서 소개된 푸리에급수의 평균제곱수렴성의 증명을 봅시다.
푸리에 해석 8
푸리에 급수의 평균제곱수렴성
📖Theorem - Mean Square Convergence
f가 적분가능한 함수이면
$$\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}|f(x)
시리즈 | FA - 7. 급수의 다양한 수렴과 Fejér's Theorem
오늘은 수렴의 정의에 대한 고찰과 Elias M. Stein과 Rami Sakarchi의 [STEIN 푸리에 해석학] 에서 소개된 페예르의 정리를 살펴봅니다.
푸리에 해석 7
급수의 다양한 수렴과 Fejér's theorem
일단 다음 수식을 감상해봅시다.
$$\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots=\frac{\pi^2}{6}$$
무한의
시리즈 | FA - 6. 합성곱과 좋은 핵
오늘은 Elias M. Stein과 Rami Sakarchi의 [STEIN 푸리에 해석학] 에서 소개된 합성곱과 핵, 좋은 핵에 대해서 알아봅니다.
이 글에서 나오는 핵의 개념과 아이디어가 푸리에 급수의 수렴성과 관련된 결과를 증명하는데 아주 중요하게 쓰이게 됩니다!
푸리에 해석 6
합성곱과 좋은 핵
먼저, 합성곱에 대해 알아봅시다.
📖정의
2\(\pi\)주기 함수들 \(f\)와