시리즈 | FA - 9. 푸리에 급수의 점별수렴

오늘은 Rudin의 [Principle of Mathematical Analysis]에서 소개된 푸리에 급수가 점별수렴하는 조건에 대해 봅니다.

앞선 글들에서 확인한 푸리에 급수의 수렴성은 다음과 같습니다:

FA-4: 함수들이 매끄러우면 매끄러울수록 푸리에 급수가 원래 함수로 잘 수렴한다.

(푸리에 계수의 합이 절대수렴하면 그 함수의 푸리에 급수는 함수가 연속인 점들에서 원래 함수로 수렴한다. 이때, 푸리에 계수의 감쇄는 함수의 매끄러운 정도에 비례하는데, 간단한 예시로 함수가 k번 미분가능하면 푸리에 계수의 감쇄가 O(1/n^k)이어서 정의역에서 2번 미분가능하면 푸리에 급수가 잘 수렴한다.)

FA-7: 적분가능한 함수에 대해 점에서 연속이기만 해도 그 점에서 약한 의미에서 푸리에 급수가 원래 함수로 수렴한다.

(적분가능한 함수의 푸리에 급수가 연속인 점들에서 원래 함수로 체사로 합 가능하다.)

FA-8: 적분가능한 함수에서 푸리에 급수가 수렴하는지는 모르겠지만, 함수벡터공간에서 원래 함수와의 거리 차이는 0으로 수렴한다.

(적분가능한 함수의 푸리에 급수는 원래 함수로 평균제곱수렴한다.)

이번 글에서는 FA-7,8에서처럼 두루뭉실하게 수렴하는 것 말고, FA-4에서와 달리 구간 전체에서 어떤 성질이 만족해야 하는 것 없이, 국소적인 정보만으로 어떤 점에서 함수의 푸리에 급수가 원래 함수로 수렴하게 되는 결과를 확인합니다.

페예르 정리에 대한 글에서 디리클레 핵이 좋은 핵이 아니어서 안타깝게도 연속성 조건으로만은 수렴을 보장할 수 없어서 더 약한, 체사로 합의 의미에서 수렴성을 증명했었습니다. 그러면 다음으로 자연스럽게 생각할 수 있는 건 점에서 미분가능할 때는 푸리에 급수가 수렴을 할지 궁금해집니다.

스타인 책에서는 미분가능할 때의 경우를 보인 후, 적분구간에서 립쉬츠 연속이 성립해도 비슷하게 증명할 수 있다 합니다. 스타인 책에 있는 정리를 그대로 가져오는 것보다, 거기서 말로 넘어간 조금 더 일반적인 경우를 포함하는 증명을 소개하면서 원래의 정리를 증명하는 게 낫겠다 싶어서 PMA에서의 증명을 가져왔습니다. (PMA에서의 정리가 스타인 책에서 말하는 일반적인 경우보다 더 일반적이긴 합니다.)

정확히는,

점에서 미분가능 $\Rightarrow$ 점에서 립취츠 $\Rightarrow$ 푸리에 급수의 점별수렴

위와 같이 글을 구성했습니다.

따라서 이번 글에서 증명하는 가장 일반적인 명제는

입니다.

한 점에서 립쉬츠라는 것이 정의가 책마다 왔다 갔다 하긴 하지만,(아래 글 참조)

https://math.stackexchange.com/questions/3471197/locally-lipschitz-at-a-point-and-around-a-point

이 글에서는 점 $x$에서 립쉬츠인 것을

$x$를 포함하는 어떤 작은 구간 $(x-\delta,x+\delta)\, \, (\delta>0)$ 이 존재해서 어떤 $M>0$에 대해 $\forall y\in (x-\delta,x+\delta)$
$$|f(x)-f(y)|\leq M|x-y|$$
이다.

이라고 정의하겠습니다.

증명:

$x$에서 미분가능하니
$$\lim_{y\to x}\frac{f(x)-f(y)}{x-y}=f'(x)$$

입실론 델타 정의로 풀어서 $\epsilon=|f'(x)|$(사실 뭐로 잡던 상관X) 일 때의 어떤 델타 반경을 잡습니다.

$$|x-y|<\delta\Rightarrow \left| \frac{f(x)-f(y)}{x-y} -f'(x)\right|<|f'(x)|$$

삼각부등식으로

$$\left| \frac{f(x)-f(y)}{x-y} \right|-\left| f'(x)\right|\leq\left| \frac{f(x)-f(y)}{x-y} -f'(x)\right|<|f'(x)|$$

이어서 y가 x를 중심으로 한 델타 반경 안에 있을 땐

$$|f(x)-f(y)|<2|f'(x)||x-y|$$

​$M=2|f'(x)|$으로 하면 증명이 완료됐습니다.

였던 것을 떠올리며 본 증명을 시작합시다.

$$\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}D_N(x)dx=1$$

임을 이용하여,

\begin{equation*}
\begin{split}
S_N(f)(x)-f(x)&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}D_N(t)f(x-t)dt-f(x) \\
&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}D_N(t)(f(x-t)-f(x))dt \\
&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\sin((N+\frac{1}{2})t)\frac{f(x-t)-f(x)}{\sin(t/2)}dt
\end{split}
\end{equation*}

$$g(x)=\frac{f(x-t)-f(x)}{\sin(t/2)}$$

로 둡시다. 이 $g$가 적분가능함을 보입시다.

Lemma를 이용해서 어떤 $\delta>0$에 대해 $\forall t \in (-\delta,\delta)$ $ | f(x-t)-f(x)|\leq M|t|$이니

$$|g(x)|=\left| \frac{f(x-t)-f(x)}{\sin(t/2)} \right| \leq M\left| \frac{t}{\sin(t/2)} \right|$$

$$\Rightarrow \lim_{x\to 0}|g(x)|\leq\lim_{x\to 0}M\left| \frac{t}{\sin(t/2)}\right|=2M$$

이어서, $g$는 적어도 원점의 작은 근방에서는 유계임을 알 수 있습니다.

어떤 임의의 $0<\epsilon<\delta$인 $\epsilon$을 잡고, 이를 통해서 $[-\pi,\pi]$를 원점 주변에서 $g$가 유계인 작은 구간과 $g$의 분모가 0이 되지 않는 나머지 구간들로 나눕니다.

$$[-\pi,-\epsilon],[-\epsilon,\epsilon],[\epsilon,\pi]$$

이렇게 한 후 상합과 하합을 고려하면, $[-\epsilon,\epsilon]$ 외의 구간에서 $f$는 적분가능하니 $f(x-t)-f(x)$도 적분가능하고, $\frac{1}{\sin(t/2)}$ 또한 적분가능하니 둘의 곱인 $g$ 또한 적분가능해서 상합과 하합의 차이가 0으로 가게 할 수 있고, $[-\epsilon,\epsilon]$에서는 $g$가 유계여서 상합과 하합의 차이는 어떤 상수와 구간 크기의 곱으로 바운드 돼서, 구간을 임의로 좁게 잡아서 0으로 가게 할 수 있습니다.

\begin{equation*}
\begin{split}
S_N(f)(x)-f(x) &=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\sin((N+\frac{1}{2})t)\frac{f(x-t)-f(x)}{\sin(t/2)}dt \\
&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\sin((N+\frac{1}{2})t)g(t)dt \\
&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\sin(Nt)\cos(t/2)g(t)+\cos(Nt)\sin(t/2)g(t)dt \\
&= \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\left( g(t)\cos(t/2)\right) \sin(Nt)+\left(g(t)\sin(t/2)\right) \cos(Nt)dt
\end{split}
\end{equation*}

$g,\sin(t/2),\cos(t/2)$ 모두 $[-\pi,\pi]$에서 적분가능하니 곱도 적분가능하여, 평균제곱수렴을 증명함으로서 나온 아래 따름정리를 사용해서

$$S_N(f)(x)-f(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\left( g(t)\cos(t/2)\right) \sin(Nt)+\left(g(t)\sin(t/2)\right) \cos(Nt)dt\to 0 \, \, \, \text{as n} \to \infty$$