시리즈 | Fourier - 1. 푸리에 급수의 동기

푸리에 급수에 대해 소개하기 전에 사람 조제프 푸리에에 대해 알아봅시다.

조제프 푸리에는 1768년 3월 21에 프랑스 오세르에서 태어났습니다

그는 제단사의 아들로 태어나 아홉살의 나이에 부모를 잃습니다. 후 오세르의 주교에게 추천이 된 그는 베네딕토 수도회에서 교육을 받습니다. 마침 그의 탄생 시기를 보면 그의 젊은 시절은 프랑스 혁명(1789~1799)과 매우 겹쳐있는 것을 볼 수 있는데, 그는 실제로 굉장히 열성적으로 혁명을 지지하며 지방 혁명위원회에서 활동했습니다. 이로 인해 감옥도 잠깐 갔다 왔던 푸리에지만  École Normal에 교수로 임명되고, 잠시 후에 1795년에 라그랑주를 뒤이어서 École Polytechnique의 교수직을 임명받습니다.

1798년이 되어서 푸리에는 나폴레옹의 과학 자문관으로 이집트 카이로를 가게 됩니다. 하지만 나폴레옹의 프랑스는 이집트에서 계속 영국군에게 밀리다가 1801년 Jacques-François Menou(당시 장군)의 항복 후 프랑스로 돌아갑니다.

돌아온 해에 그는 École Polytechnique 교수직으로 복귀하지만, 나폴레옹이 그를 이제르 지방의 도지사로 임명함에 따라 자리를 옮깁니다. 그리고 이때부터 그는 열전도에 관한 연구를 하기 시작합니다.

1822년에는 달랑베르를 이어서 푸리에는 프랑스 과학 아카데미의 상설 서기로 임명이 됩니다. 또한 바로 이 해가 바로 그를 수학사 얼굴에 자신의 이름을 대문짝만하게 세길 수 있게 해준 그의 논문인 Théorie analytique de la chaleur (열의 해석적 이론)를 발표한 해입니다. 이 논문에서 푸리에는 뉴턴의 냉각법칙을 근거로 열전도에 해석학을 접목시켜서 서술합니다. 이 논문의 가장 중요한 의의라고 하면 푸리에 급수를 향한 그의 확신입니다. 그는 어떤 함수던 연속,불연속 상관없이 코사인과 사인의 급수로 나타내질 수 있음을 주장하며 밀고 나갑니다. 오일러, 라그랑주 등 많은 이들이 푸리에 급수의 가능성에 대해서 얘기하면서도 제대로 연구를 하지 않았지만, 푸리에가 이를 적극 활용함으로써 푸리에 급수에 대한 연구가 본격적으로 시작될 수 있게 한 것입니다.

안타깝게도 1830년에 그의 쌓여가던 건강 악화가 결국 터지게 됩니다. 푸리에의 많은 초상화를 보면 그는 항상 옷을 정말 많이 겹겹이 입는데, 심지어 이집트에 갔을 때도 이런 복장을 유지했다 합니다. 이렇게 입은 탓인지 그는 심장이 안 좋아졌는데, 이미 심장동맥류 및 질식을 몇 번 경험했던 그는 계단에서 미끄러져서 원래 질환들이 급격히 악화 돼 1830년 5월 16일 세상을 떠납니다.

푸리에 급수 가장 기초적인 동기는 미분방정식을 풀기 위해서입니다.

$$\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}, \quad \text{with } c = \sqrt{\frac{\tau}{\rho}}, \,( u(x,t)=\text{시간t 때 위치x에서 파동의 변위})$$

$$\frac{\partial T}{\partial t} = D\frac{\partial^2 T}{\partial x^2}, \quad \text{with } D = 열확산도, \, (T(x,t)=\text{시간t 때 점x에서의 온도} )$$

(1차원에서의 파동방정식과 열확산방정식)

최대한 간단하게, D=1일 때 열확산 방정식의 해가 뭐가 있을까 생각해봅시다. 변수분리를 해서 생각했을 때, 그러니까 T(x,t)=f(x)g(t) 이런 식으로 원래 함수가 각 변수들 만을 가지는 함수들의 곱으로 나타내지는 원래 함수를 생각했서 열확산 방정식에 대입하면 f(x)g'(t)=f''(x)g(t)입니다. 단순히 생각했을 때 f(x)=-f''(x)이고 g'(t)=-g(t)이면 만족을 합니다. 각각 두 번, 한 번 미분하면 -자신이 되는 함수이면 됩니다. 그러니

$$g(t)=e^{-t},f(x)=cos(x)$$

자연스럽게 이렇게 두면(cos이 sin이어도 됨), T는 해가 됩니다! 우리는 최대한 많은 해를 얻고 싶으니 위 함수들에 상수를 잘 끼워넣어 보면

$$g(t)=e^{-k^2t},f(x)=cos(kx)$$

그리고 방정식의 양변에 상수를 곱해도 만족을 하니

$$ T(x,t)=Ce^{-k^2t}cos(kx)$$

위의 T 또한 열확산 방정식의 해입니다. 여기서 C와 k값, cos을 sin으로 바꿔가며 더해도 더해진 식 또한 열확산 방정식의 해가 되는 걸 확인할 수 있습니다.

확인:

$$T'=T_1+T_2+\cdots+T_n \, \, and \, \, \frac{\partial T_i}{\partial t} = \frac{\partial^2 T_i}{\partial x^2} (i\in{{1,2,\cdots,n}})$$

$$\Rightarrow \frac{\partial T'}{\partial t}=\frac{\partial (T_1+T_2+\cdots+T_n)}{\partial t}$$

$$=\frac{\partial T_1}{\partial t}+\frac{\partial T_2}{\partial t}+\cdots+\frac{\partial T_n}{\partial t}$$

$$=\frac{\partial^2 T_1}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 T_2}{\partial x^2}+\cdots+\frac{\partial^2 T_n}{\partial x^2}$$

$$=\frac{\partial^2 (T_1+T_2+\cdots+T_n)}{\partial x^2}=\frac{\partial^2 T'}{\partial x^2} \rightarrow Ok!$$

$$ \therefore T(x,t)=C_1e^{-a^2t}cos(ax)+C_2e^{-b^2t}sin(bx)+C_3e^{-c^2t}cos(cx)+\cdots$$

열확산 방정식의 목표는 내가 열의 초기 분포를 알 때 시간이 변함에 따라 온도의 분포를 함수로 나타내는 것입니다. 따라서 초기(t=0)에서 위 식을 보면

$$ T(x,0)=C_1cos(ax)+C_2sin(bx)+C_3cos(cx)+\cdots$$

여기서 드는 상상이 만약 우리가 cos과 sin들을 잘 조합해서 어떤 함수던지 다 만들 수 있게 되면, 모든 초기 조건에 대해서 \(e^{-k^2t}\)을 적절히 곱함으로써 열확산 방정식의 해를 구할 수 있게 됩니다.

다시 말하자면 푸리에 급수를 통해서 열확산방정식을 모든 초기 조건에 대한 해를 수학적으로 예쁘게 표현할 수 있는 것 입니다!

동기부여를 마지막에 더욱 끌어올리기 위해서 애니메이션! 아래 애니메이션은 식을 표현한 것입니다.

경계/초기 조건:

$$\frac{d}{dx}T(0,t)=\frac{d}{dx}T(2,t)=0$$

$$(T(x,0)=1 \, when \, (0≤x≤1)) \, and \, (T(x,0)=-1 \, when \, (1<x≤2)) \,이면$$

$$\Rightarrow$$

$$T(x,t)=\frac{4}{\pi}\sum_{n=양의 홀수}e^{-n^2t}(-1)^\frac{n-1}{2}\frac{cos(nx)}{n}$$

$$=\frac{4}{\pi}(e^{-t}\frac{cos(1x)}{1}-e^{-3^2t}\frac{cos(3x)}{3}+e^{-5^2t}\frac{cos(5x)}{5}-e^{-7^2t}\frac{cos(7x)}{7}+\cdots)$$

$$\Rightarrow$$