시리즈 | FA - 4. 푸리에 급수의 균등수렴

오늘은 Elias M. Stein과 Rami Sakarchi의 [STEIN 푸리에 해석학]에서 소개된 푸리에 급수가 원래의 함수로 균등수렴하는 조건에 대한 결과를 봅니다. 오늘은 푸리에 급수가 어떻게 수렴하는지에 대해 가볍게 다루면서 균등수렴이니 절대수렴이니 하기 때문에, 함수열에 대해서 어느정도 공부하고 읽으시면 이해가 훨씬 잘 되실 겁니다.

앞 글에서 앞으로 푸리에 급수가 언제 원래 급수로 수렴하는가에 대해서 많이 다룰 것이라고 얘기했습니다.

푸리에 급수의 수렴성은 매우 중요하고 깊은 문제입니다. 초기에 푸리에의 연구가 널리 받아들여지지 못한 이유가 그가 푸리에 급수가 일반적으로 원래 함수로 수렴함을 증명하지 못 했기 때문입니다. 또한 칸토어는 푸리에 급수의 수렴성을 연구하며 수렴의 문제를 다루기 위해 집합론으로 빠졌다고 합니다. 거기에 Nikolai Lusin이 \(L^2\)공간의 함수들의 푸리에 급수의 almost everywhere pointwise convergence를 1910년대에 추측하며 이 문제는 Lusin's Conjecture로 50년을 버티며, 아마 거짓일 것으로 여겨졌습니다. 1966년에 Lennart Carleson이라는 사람이 이를 엄청 어려운 증명을 통해서 증명합니다. 후에 이 Richard Hunt라는 분은 $L^2$를 $L^p (p>1)$로 일반화 시켰습니다. 그리고 Carleson의 어려운 증명을 단순화 시키려는 시도와 쉬운 증명을 찾는 연구도 많았다고 합니다.

이번 글에서 이런 엄청난 문제들의 더미에 첫 발을 딛는 것입니다!

정확히는, 푸리에 급수가 언제 원래 함수로 수렴하는지에 대한 판정법을 찾고, 이 판정법을 만족시키는 간단한 강한 조건을 찾는 것을 합니다.

오늘 우리가 증명하고 싶은 결과는 다음과 같습니다.

\(S_N(f)(\theta)=\sum_{n=-N}^{N}\hat{f}(n)e^{in\theta}\)이고, f의 n번째 푸리에 계수를 \(\hat{f}(n)\)으로 표기합니다.

f가 원 위에서 연속이라는 표현은 정의된 구간에서 연속이면서 구간의 끝점과 처음 점의 함숫값이 같다는 것입니다. 이는 푸리에 급수가 주기적이어서 자연스럽게 원 위에서 정의된 함수로 생각할 수 있어서 이렇게 표현하는 것입니다.

사실 증명 자체는 책에서는 유일성 정리의 따름정리로 나온 만큼, 논리가 쉽고 명쾌합니다. 증명에 들어가기 전에 균등수렴의 판정법, 바이어슈트라스 M 테스트를 간단히 먼저 다루겠습니다.

증명:

일단 절대수렴한다는 것은 절댓값들의 합이 위로 바운디드라니까 단조수렴정리를 생각하면 자명합니다.

균등수렴함은

\(M_n\)의 급수가 수렴하니 \(\sum_{n=1}^{\infty} M_n\)의 부분합들은 수렴하는 수열이고, 모든 수렴하는 수열은 코시수열이니까 다음이 성립합니다.

$$\forall \epsilon ,\exists N \, s.t. \, \forall m>n>N \, \, \, \, \sum_{k=1}^m M_k-\sum_{k=1}^n M_k=\sum_{k=n+1}^m M_k<\epsilon$$

따라서 \(S_N(x)=\sum_{n=1}^{N} f_n(x)\)로 정의하면

$$|S_m(x)-S_n(x)|=\left|\sum_{k=n+1}^{m}f_k(x)\right|\leq\sum_{k=n+1}^{m}|f_k(x)|\leq\sum_{k=n+1}^{m}M_k<\epsilon$$이니까

$$|S_m(x)-S_n(x)|<\epsilon$$

\(S_n(x)\)가 코시수열이므로, 각 x에 대해 \(S_n(x)\)의 극한이 존재하고, 이를 \(S(x)\)로 두고, \(x\)는 임의의 구간 내 \(x\)이므로

$$\forall x \in A, \, \, \exists N \text{s.t.} \forall n\geq N, |S(x)-S_n(x)|<\epsilon$$

따라서 바로 위에 식이 함수열 $S_n$이 $S$로 균등수렴 한다는 것의 정의이므로 증명이 완료됩니다.

조건에 의해 \(\sum_{n=-\infty}^{\infty}|\hat{f}(n)|<\infty\)이니까

바이어슈트라스 M 테스트를 씁시다. \(f_n(x)\)를 \(\hat{f}(n)e^{inx}\)로 두고 \(M_n\)을 \(\hat{f}(n)\)으로 두면

$$-\forall x\in \mathbb{R} \, \, \, \, |f_n(x)|=|\hat{f}(n)e^{inx}|\leq|\hat{f}(n)|= M_n$$

$$-\sum_{n=1}^{\infty} M_n=\sum_{n=1}^{\infty}|\hat{f}(n)|\leq\sum_{n=-\infty}^{\infty}|\hat{f}(n)| < \infty $$

이어서 M-test가 만족되고, 똑같이 \(f_n(x)\)를 \(\hat{f}(-n)e^{-inx}\)로 두고 \(M_n\)을 \(| \hat{f}(-n) |\)으로 두어도 테스트 조건을 만족하니,

$$s_n(x)=\sum_{k=1}^{n}\hat{f}(k)e^{ikx}, \, \, \, s_{-n}(x)=\sum_{k=1}^{n}\hat{f}(-k)e^{-ikx},$$

로 두면 $s_n,s_{-n}$은 균등수렴함을 알 수 있습니다.

$$S_N(f)(x)=s_N(x)+\hat{f}(0)+s_{-N}(x)$$

입니다. 균등수렴하는 함수열의 합으로 표현되므로

이므로 \(S_N(f)(x)\)는 균등하게 수렴합니다.

\(S_N(f)(x)\)는 복소지수함수들의 합이니 연속인데, 균등수렴하기 때문에 극한에서도 연속성이 보존 되어서

\(\lim_{N\to \infty}S_N(f)(\theta)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\hat{f}(n)e^{in\theta}\)이 연속이고, \(f(\theta)\)도 조건에 따라 연속이면서 두 함수의 모든 푸리에 계수가 같으므로 푸리에 급수의 유일성 정리에 의해 모든 \(\theta\)에 대해서

$$f(\theta)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\hat{f}(n)e^{in\theta}$$

따라서 증명이 완료됩니다.

푸리에 급수가 함수로 균등수렴하는 조건으로 찾은 \(f\)가 연속이면서 \(\sum|\hat{f}(n)|<\infty\)를 만족하는 경우로 아주 간단하게 \(f\)가 2번 미분가능할 때를 생각할 수 있습니다.

저 O 표기법에 대해서 간단히 설명하자면 어떤 함수가 어떤 값으로 감에 따라서 그 함수의 행동양식을 표현하는 표시입니다.

$$f(x)=O(g(x)) \, \, \, as \, \, \, x \to \infty$$ 의 정의는

$$\exists x_0,M \, \, s.t. \, \, \forall x>x_0, \, \, \,|f(x)|\leq M|g(x)|$$

Proposition의 증명: f가 두 번 미분가능하니 부분적분을 거듭해서 씁니다

\begin{equation*}
\begin{split}
\hat{f}(n) &=\frac{1}{2\pi } \int_0^{2\pi} f(\theta)e^{-in\theta} d\theta \\
&= \left[ \frac{1}{2\pi }f(\theta) \cdot \frac{-e^{-in\theta}}{in} \right]_0^{2\pi} + \frac{1}{2\pi in} \int_0^{2\pi} f'(\theta)e^{-in\theta} d\theta \\
&= \frac{1}{2\pi in} \int_0^{2\pi} f'(\theta)e^{-in\theta} d\theta \\
&= \frac{1}{2\pi in} \left[ f'(\theta) \cdot \frac{-e^{-in\theta}}{in} \right]_0^{2\pi} + \frac{1}{(in)^2} \int_0^{2\pi} f''(\theta)e^{-in\theta} d\theta \\
&= \frac{-1}{n^2} \int_0^{2\pi} f''(\theta)e^{-in\theta} d\theta
\end{split}
\end{equation*}

이니까, 그리고

$$\left| \int_0^{2\pi} f''(\theta)e^{-in\theta} d\theta\right| \leq \int_0^{2\pi} |f''(\theta)|d\theta=C$$

이어서

$$|\hat{f}(n)|\leq\frac{C}{2\pi}\frac{1}{n^2}$$

이므로 proposition이 성립함을 알 수 있습니다. p-test에 따라 \(\sum|\hat{f}(n)|\)이 수렴하니, 두 번 미분가능한 함수의 푸리에급수는 절대수렴함을 알 수 있고, 당연히 \(f\)는 연속이니. 따라서, 2번 미분가능한 함수의 푸리에 급수는 함수로 균등수렴함을 알 수 있습니다.

읽어주셔서 감사합니다!

마지막으로 약간만 디테일을 더하자면, 어떤 함수의 푸리에급수의 수렴성은 그 함수의 매끈함(미분n번가능성)과 관련이 있다고 합니다. 앞서서 함수가 두 번 미분가능하면 푸리에급수가 절대수렴함을 보였지만, 사실 두 번 미분가능한 것 보다 더 약한 조건인 "Hölder condition of order α, with α > 1/2"이어도 절대수렴한다고 합니다.

또한, 정교한 논의를 통해서 균등수렴하는 조건을 푸리에 계수가

$$\hat{f}(n)=O\left (\frac{1}{|n|}\right)$$

을 만족할 때 로 약화시킬 수 있습니다. 이를 통해서 어떤 구간의 모든 점들에서 한 번만 미분가능해도 균등수렴함을 확인할 수 있고, 더 나아가서 극점들의 개수가 유한한 경우에 연속이기만 해도 균등수렴함을 알 수 있습니다. 직접 확인하고 싶으시면 책의 연습문제에 있으니 해보시는 걸 추천합니다.