시리즈 | Quantum Chemistry - 8.2. 유한 퍼텐셜 우물

지난 시간에 우리는 양쪽이 무한대 퍼텐셜로 막혀 있어 입자가 마치 상자 안에 갇혀 돌아다니고 있는 것처럼 보이는 "상자 속 입자 문제"에 관해 알아보았다. 그런데 뭔가 이상하지 않은가? "무한"이 값도 아닐 뿐더러, 무한한 값을 가지는 퍼텐셜은 실제 상황에서 존재하지 않는다. 따라서, 무한 퍼텐셜 우물은 실제 상황에서는 존재하지 않는 이상적인 상황이라고 볼 수 있다.

이번 글에서는 조금 더 복잡하지만, 무한 퍼텐셜 우물보다 현실적으로 양자 입자의 병진 운동을 설명할 수 있는 유한 퍼텐셜 우물에 관해 알아보자.

유한 퍼텐셜 우물이란?

유한 퍼텐셜 우물이란 퍼텐셜이 특수한 범위 내에서는 음의 퍼텐셜을 가지는 상황으로, 퍼텐셜 그래프가 우물처럼 그 부분에 푹 꺼져 있는 모양이다. 이를 퍼텐셜 식으로 다시 나타내면 다음과 같다. (단, 아래 식에서 $-U_{0} < 0$이다.)

$$U(x) = \left\{\begin{matrix}
-U_{0} & (-a \leq x \leq a) \\
0 & (x > a, x < -a) \\
\end{matrix}\right.$$

(무한 퍼텐셜 우물때는 우물 속 퍼텐셜을 기준인 0으로 잡았지만, 유한 퍼텐셜 우물 문제에서는 계산의 편의를 위해 우물 밖의 퍼텐셜을 0으로 잡았다.)

이 문제는 무한 퍼텐셜 우물과 겁나 비슷하지만, 무한 퍼텐셜 우물은 퍼텐셜이 무한대인 반면에 유한 퍼텐셜 우물은 퍼텐셜이 유한한 값인게 다르다. 그러나, 이 작은 차이 하나 때문에 유한 퍼텐셜 우물은 무한 퍼텐셜 우물보다 풀기 훨씬 어렵다.

왜냐하면 퍼텐셜이 유한한 값이 되어버려서 양자 입자가 가지는 에너지가 퍼텐셜 벽보다 높을 수도 있고, 낮을 수도 있기 때문이다!! 위 그래프에서 양자 입자의 에너지 $E < 0$이 되어버리면 고전역학적으로 봤을때는 우물에서 탈출할 수 없는 상태로, 이 상태를 속박 상태(bounded state)라고 부른다. 이와 반면에 $E > 0$인 상태를 비속박 상태(unbounded state)나 충돌 상태(scattering state)라고 부른다.

하지만, 고전역학과는 다르게 양자역학의 유한 퍼텐셜 우물에서는 속박 상태에서도 우물 밖에 물질파가 존재할 수 있다. (비상사태 다 비상사태) 왜 이런 겁나 샤갈스러운 결과가 나오는지 이번 글에서 알아보기로 하자.

속박 상태에서 유한 퍼텐셜 우물의 해

자, 그러면 무한 퍼텐셜 우물과 비슷한 속박 상태로 시작해보자. 일단 먼저 유한 퍼텐셜 우물의 고유 상태 파동함수를 구하기 위해서 시간 비의존 슈뢰딩거 방정식을 살펴보자.

$$E \psi = -\frac{\hbar ^ 2}{2m} \frac{\partial ^2}{\partial x^2}\psi + U\psi$$

음... 위치에 따라서 퍼텐셜이 달라지기 때문에 상황을 세 부분($x < -a$, $-a \leq x \leq a$, $x > a$)으로 나눠서 파동함수를 각각 따로 구해준 뒤 합쳐야 한다.

우물 안에서의 파동함수

일단 우물 안($-a \leq x \leq a$)에서의 상황을 생각해보자. 우물 안에서 퍼텐셜은 $-U_{0}$이므로, 우물 안에서의 시간 비의존 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같다.

$$E \psi = -\frac{\hbar ^ 2}{2m} \frac{\partial ^2}{\partial x^2}\psi - U_{0}\psi$$

보기 좋게, 에너지에 $\psi$가 곱해진 항은 좌변으로 몰아주자.

$$(E + U_{0}) \psi = -\frac{\hbar ^ 2}{2m} \frac{\partial ^2}{\partial x^2}\psi$$

음... 보니까 1차원 무한 퍼텐셜 우물에서 풀었던 시간 비의존 슈뢰딩거 방정식과 $E$가 $E + U_{0}$로 바뀐거 말고는 똑같이 생겼다.

그때 풀었던 방식과 비슷하게 편미분 연산자가 적용된 항 말고는 모두 한 곳에 몰아주자.

$$\frac{\partial ^2}{\partial x^2}\psi = -\frac{2m}{\hbar ^ 2} (E + U_{0}) \psi$$

이번에는 $\frac{2m}{\hbar ^ 2} (E + U_{0}) := k ^{2}$로 치환해주자. ($k := \sqrt{\frac{2m}{\hbar ^ 2} (E + U_{0})}$)

$$\frac{\partial ^2}{\partial x^2}\psi = -k ^{2} \psi$$

1차원 무한 퍼텐셜 우물의 시간 비의존 슈뢰딩거 방정식을 풀었던 것과 비슷하게 지수함수 꼴로 일반해를 정리한 뒤 오일러 공식을 사용해주면 다음과 같다. (기억이 잘 안나면 지난번 글을 한번 더 다시 읽어보자.)

$$\psi = c_1 e^{+ikx} + c_2 e^{-ikx} = A\mathrm{sin}(kx) + B\mathrm{cos}(kx)$$

우물 밖에서의 파동함수

다음으로 우물 밖($x < -a$, $x > a$)에서의 상황을 생각해보자. 우물 밖에서 퍼텐셜은 0이므로, 우물 밖에서의 시간 비의존 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같다.

$$E \psi = -\frac{\hbar ^ 2}{2m} \frac{\partial ^2}{\partial x^2}\psi$$

여기서도 전에 미분 방정식을 풀었던 방식과 비슷하게 편미분 연산자가 적용된 항 말고는 모두 한 곳에 몰아주자.

$$\frac{\partial ^2}{\partial x^2}\psi = -\frac{2mE}{\hbar ^ 2} \psi$$

그런데, 이번에는 입자 전체의 에너지가 음수이기 때문에, $-\frac{2mE}{\hbar ^ 2}$ 항 자체가 양수이다. 우물 문자가 겹치면 겁나 헷갈리기 때문에, 이번에는 $-\frac{2mE}{\hbar ^ 2} := l ^{2}$로 치환해주자. ($l := \sqrt{-\frac{2mE}{\hbar ^ 2}}$)

$$\frac{\partial ^2}{\partial x^2}\psi = l ^{2} \psi$$

앞에서 계속 사용했던 방법을 쓰면, 위 미분 방정식을 푼 일반해는 다음과 같다.

$$\psi = C e^{+lx} + D e^{-lx}$$

행실 좋은 파동함수이기 위해서는 파동함수가 속한 구간 전체에서 적분 가능해야한다. 위 미분 방정식 일반해의 각 항에 이 조건을 각각 적용해주자.

이제, 우물 왼쪽($x < -a$), 우물 오른쪽($x > a$) 상황을 각각 생각해보자.

여기서, 파동함수를 속한 구간 전체에서 적분하려면 우물 왼쪽은 $(-\infty , -a)$ 범위에서 적분해야 하며, 우물 오른쪽은 $(a, \infty)$에서 적분해야 하므로, 우물 왼쪽의 파동함수의 경우에는 $\lim _{x \to -\infty}$ 극한값이, 우물 왼쪽의 파동함수의 경우에는 $\lim _{x \to \infty}$ 극한값이 양의 무한대나 음의 무한대로 발산하면 안된다는 사실을 알 수 있다.

우물 왼쪽($x < -a$)의 상황을 먼저 고려해보자. 일단 위 미분방정식 일반해의 각 항을 $x \to -\infty$로 극한을 보내보자.

$$\begin{aligned}
\lim _{x \to -\infty} C e^{+lx} &= 0 \\
\lim _{x \to -\infty} D e^{-lx} &= \infty
\end{aligned}$$

여기서, 미분방정식 일반해의 두 번째 항 때문에 전체 파동함수의 극한이 발산해버림을 알 수 있다. 따라서, 행실 좋은 파동함수일려면 우물 왼쪽($x < -a$)에서 $D = 0$이어야 한다.

그 다음으로, 우물 오른쪽($x > a$)의 상황을 먼저 고려해보자. 비슷하게 위 미분방정식 일반해의 각 항을 $x \to \infty$로 극한을 보내보자.

$$\begin{aligned}
\lim _{x \to \infty} C e^{+lx} &= \infty \\
\lim _{x \to \infty} D e^{-lx} &= 0
\end{aligned}$$

여기서, 미분방정식 일반해의 첫 번째 항 때문에 전체 파동함수의 극한이 발산해버림을 알 수 있다. 따라서, 행실 좋은 파동함수일려면 우물 오른쪽($x > a$)에서 $C = 0$이어야 한다.

따라서, 정리해보면 우물 밖에서의 파동함수의 꼴은 다음과 같다.

$$\psi (x) = \left\{\begin{matrix}
C e^{+lx} & (x < -a) \\
D e^{-lx} & (x > a) \\
\end{matrix}\right.$$

경계 조건

이제, 각 구간별로 따로 놀고 있는 파동함수들을 하나의 파동함수로 합쳐주고, 유한 퍼텐셜 우물에서 가능한 에너지 준위를 구하기 위해서 행실 좋은 파동함수가 되기 위한 조건 중 연속성과 미분가능성 조건을 적용해주자.

$\Psi$와 $\frac{\partial \Psi}{\partial x}$가 구간 내의 모든 곳에서 연속인 함수이다.

지금까지 구했던 유한 퍼텐셜 우물의 파동함수 꼴은 다음과 같다.

$$\psi (x) = \left\{\begin{matrix}
C e^{+lx} & (x < -a) \\
A\mathrm{sin}(kx) + B\mathrm{cos}(kx) & (-a \leq x \leq a) \\
D e^{-lx} & (x > a) \\
\end{matrix}\right.$$

딱 봐도 불연속, 미분불가능 의심점 (임계점)이 $x = -a, a$로 2개 보인다. 각 부분에 대해서 연속성과 미분가능성 식을 세우자.

먼저, x = -a에 대해서는 다음과 같다.

$$\begin{aligned}
& \lim _{x \to -a^{-}} \psi (x) = \lim _{x \to -a^{+}} \psi (x) : \;\;C e^{-la} = A\mathrm{sin}(-ka) + B\mathrm{cos}(-ka) = -A\mathrm{sin}(ka) + B\mathrm{cos}(ka) \\
& \lim _{x \to -a^{-}} \frac{\partial \psi (x)}{\partial x} = \lim _{x \to -a^{+}} \frac{\partial \psi (x)}{\partial x} : \;\; \begin{matrix} \lim _{x \to -a^{+}} (l C e^{+lx}) = \lim _{x \to -a^{-}} (k A\mathrm{cos}(kx) - k B\mathrm{sin}(kx)) \\
\therefore l C e^{-la} = kA \mathrm{cos}(ka) + kB \mathrm{sin}(ka) \end{matrix}
\end{aligned}$$

그리고, x = a에 대해서는 다음과 같다.

$$\begin{aligned}
& \lim _{x \to a^{-}} \psi (x) = \lim _{x \to a^{+}} \psi (x) : \;\; A\mathrm{sin}(ka) + B\mathrm{cos}(ka) = D e^{-la} , \\
& \lim _{x \to a^{-}} \frac{\partial \psi (x)}{\partial x} = \lim _{x \to a^{+}} \frac{\partial \psi (x)}{\partial x} : \;\; \begin{matrix} \lim _{x \to a^{-}} (k A\mathrm{cos}(kx) - k B\mathrm{sin}(kx)) = \lim _{x \to a^{+}} (-l D e^{-lx}) \\
\therefore kA \mathrm{cos}(ka) - kB \mathrm{sin}(ka) = -lD e^{-la} \end{matrix}
\end{aligned}$$

따라서, 연속성과 미분가능성 경계 조건에 의해 도출되는 각 계수간의 관계는 다음과 같다.

$$\begin{aligned}
& C e^{-la} = -A\mathrm{sin}(ka) + B\mathrm{cos}(ka) , \\
& A\mathrm{sin}(ka) + B\mathrm{cos}(ka) = D e^{-la} , \\
& l C e^{-la} = kA \mathrm{cos}(ka) + kB \mathrm{sin}(ka) , \\
& kA \mathrm{cos}(ka) - kB \mathrm{sin}(ka) = -lD e^{-la}
\end{aligned}$$

풀기 싫게 생겼다... 이 식을 가감법과 대입법 때려서 연립방정식 푸는거는 미친 짓이다. 그래서, 우리는 테크닉을 하나 쓸거다.

앞에서 보았던 퍼텐셜 그래프를 다시 보자.

음.. 잘 보면 퍼텐셜 그래프가 우함수다. 따라서, 대칭성 때문에 고유상태에서는 입자가 존재할 확률을 나타내는 확률밀도함수 또한 우함수여야 한다는 점을 알 수 있다. 그리고, 여기서 확률밀도함수 $\rho = |\psi| ^{2}$이므로, 고유상태 파동함수 $\psi$는 우함수 또는 기함수로 선택할 수 있다!

자, 그럼 우함수일 때와 기함수일 때를 나누어서 생각해보자.

파동함수가 우함수인 경우

파동함수가 우함수이려면 $\psi (x) = \psi (-x)$이여야 한다. 따라서, $x \ge a$인 x에 대해 $\psi (x) = \psi (-x)$를 대입해보면 다음과 같은 식이 나온다.

$$\begin{aligned}
& C e^{+l(-x)} = D e^{-l x} \\
& \therefore C = D
\end{aligned}$$

그리고, $-a \le x \le a$인 x에 대해 $\psi (x) = \psi (-x)$를 대입해보면 다음과 같이 나온다.

$$\begin{aligned}
A\mathrm{sin}(kx) + B\mathrm{cos}(kx) &= A\mathrm{sin}(-kx) + B\mathrm{cos}(-kx) \\
A\mathrm{sin}(kx) + B\mathrm{cos}(kx) &= - A\mathrm{sin}(kx) + B\mathrm{cos}(kx) \\
2A\mathrm{sin}(kx) &= 0 \\
\therefore A &= 0
\end{aligned}$$

대칭성 조건에 의해 도출된 계수 간 조건들을 위에서 구했던 경계 조건 식에 넣어주자.

$$\begin{aligned}
& C e^{-la} = B\mathrm{cos}(ka) , \\
& l C e^{-la} = kB \mathrm{sin}(ka)
\end{aligned}$$

오오오!! 공통된 항들이 많이 보인다. 이제 아래 식을 위의 식으로 나눠주자.

$$\begin{aligned}
\frac{ l C e^{-la}}{C e^{-la}} &= \frac{kB \mathrm{sin}(ka)}{B\mathrm{cos}(ka)} \\
l &= k \mathrm{tan} (ka)
\end{aligned}$$

복잡한 식을 피해서 왔더니 골 때리는 식이 나왔다. $l = k \mathrm{tan} (ka)$는 다항함수와 삼각함수가 마구 섞여 있어서 식 정리만으로는 완전한 해를 구하기 어렵다. 그래서, 컴퓨터를 활용한 계산이나 그래프를 그려서 해결해야 한다.

우리는 입자의 에너지 준위를 구하기 위해서 결국 $l$, $k$로 치환된 위 식의 그래프를 그려 치환을 해제하고 $E$에 관해 위 식을 풀어야 한다. 근데 위 식 자체에서 치환된 $l$, $k$에는 각각 E가 들어가 있어서 그래프를 그리기 어려우므로, 계산의 편의성을 위해 다음과 같이 E가 포함된 $z$, 상수 $z_{0}$으로 치환해주자.

$$\begin{aligned}
& z := ka = a\sqrt{\frac{2m}{\hbar ^ 2} (E + U_{0})}\\
& z_{0} := a\sqrt{\frac{2mU_{0}}{\hbar ^ 2}}
\end{aligned}$$

이제, $l = k \mathrm{tan} (ka)$ 식을 열심히 조작해서 $l$, $k$를 $z$, $z_{0}$로 다 바꿔주자. 먼저, 우변의 탄젠트 밖의 $k$를 $ka$로 바꾸어줘서 치환하기 쉽게 해주자.

$$la = ka \mathrm{tan} (ka)$$

이제, $z = ka$를 대입해주자.

$$la = z \mathrm{tan} z$$

음.. 좌변의 $la$가 골칫거리다. 다음과 같이 식을 잘 바꿔보면 $la$를 $z$, $z_{0}$로 바꿔줄 수 있다.

$$\begin{aligned}
la &= \sqrt{(k ^{2} + l ^{2}) - k ^{2}}\; a \\
&= \sqrt{(\frac{z_{0}}{a}) ^{2} - (\frac{z}{a}) ^{2}}\; a \\
&= \sqrt{z_{0} ^{2} - z ^{2}}
\end{aligned}$$

따라서, $l = k \mathrm{tan} (ka)$를 $z$, $z_{0}$로 바꿔준 식은 다음과 같다.

$$\begin{aligned}
\sqrt{z_{0} ^{2} - z ^{2}} = z \mathrm{tan} z \\
\therefore \mathrm{tan} z = \sqrt{(\frac{z_{0}}{z}) ^{2} - 1}
\end{aligned}$$

훨 간단해졌다. 이제, z에 대한 그래프($y = \mathrm{tan} z$, $y = \sqrt{(\frac{z_{0}}{z}) ^{2} - 1}$)를 각각 desmos 그래프 그리는 도구를 써서 그린 뒤 교점을 구하여 해를 구해주자.

위 그래프에서 빨간색 선은 $y = \mathrm{tan} z$, 파란색 선은 $y = \sqrt{(\frac{z_{0}}{z}) ^{2} - 1}$의 그래프이다. 그리고, 두 그래프가 만나는 교점의 z값이 이 유한 퍼텐셜 우물에서 허용되는 $z := ka = a\sqrt{\frac{2m}{\hbar ^ 2} (E + U_{0})}$ 값이다. 사실상 이 값을 정확하게 구하는거는 대수적으로 불가능하기 때문에, 실제 에너지 준위를 구하기 위해서는 컴퓨터 계산을 활용해야 한다.

여기서, 그래프를 잘 보면 속박된 상태의 입자가 가질 수 있는 z의 값은 $z_{0}$ 값에 따라 유한하며, 따라서 무한 퍼텐셜 우물과는 다르게 제한된 수만큼의 고유 상태를 갖는다는 점에 유의하자.

파동함수가 기함수인 경우

후.. 드디어 한 경우를 끝냈다. 파동함수가 기함수인 경우도 위에서 우함수때 했던 방법과 비슷하게 구해주면 된다. 파동함수가 기함수이려면 $\psi (-x) = -\psi (x)$이여야 한다. 따라서, $x \ge a$인 x에 대해 $\psi (-x) = -\psi (x)$를 대입해보면 다음과 같은 식이 나온다.

$$\begin{aligned}
& C e^{+l(-x)} = -D e^{-l x} \\
& \therefore C = -D
\end{aligned}$$

그리고, $-a \le x \le a$인 x에 대해 $\psi (-x) = -\psi (x)$를 대입해보면 다음과 같이 나온다.

$$\begin{aligned}
A\mathrm{sin}(kx) + B\mathrm{cos}(kx) &= -A\mathrm{sin}(-kx) - B\mathrm{cos}(-kx) \\
A\mathrm{sin}(kx) + B\mathrm{cos}(kx) &= A\mathrm{sin}(kx) - B\mathrm{cos}(kx) \\
2B\mathrm{cos}(kx) &= 0 \\
\therefore B &= 0
\end{aligned}$$

대칭성 조건에 의해 도출된 계수 간 조건들을 위에서 구했던 경계 조건 식에 넣어주자.

$$\begin{aligned}
& C e^{-la} = A\mathrm{sin}(ka) , \\
& -l C e^{-la} = kA\mathrm{cos}(ka)
\end{aligned}$$

$l$을 분자에 살리기 위해서 이번에도 아래 식을 위 식으로 나눠주자.

$$\begin{aligned}
\frac{ -l C e^{-la}}{C e^{-la}} &= \frac{kA \mathrm{cos}(ka)}{A\mathrm{sin}(ka)} \\
l &= -k \mathrm{cot} (ka)
\end{aligned}$$

이번에는 $l = -k \mathrm{cot} (ka)$는 더 골때리는 식이 나왔다. 위와 비슷하게 계산의 편의성을 위해 다음과 같이 E가 포함된 $z$, 상수 $z_{0}$으로 치환해주자.

$$\begin{aligned}
la = -ka \mathrm{cot} (ka) \\
\sqrt{z_{0} ^{2} - z ^{2}} = -z \mathrm{cot} (z) \\
-\mathrm{cot} z = \sqrt{(\frac{z_{0}}{z}) ^{2} - 1}
\end{aligned}$$

이제, z에 대한 그래프($y = -\mathrm{cot} z$, $y = \sqrt{(\frac{z_{0}}{z}) ^{2} - 1}$)를 각각 그린 뒤 교점을 구하여 해를 구해주자.

위 그래프에서 빨간색 선은 $y = -\mathrm{cot} z$, 파란색 선은 $y = \sqrt{(\frac{z_{0}}{z}) ^{2} - 1}$의 그래프이다. 위와 비슷하게, 두 그래프가 만나는 교점의 z값이 이 유한 퍼텐셜 우물에서 허용되는 $z := ka = a\sqrt{\frac{2m}{\hbar ^ 2} (E + U_{0})}$ 값이다. 우함수와 비슷하게 을 정확하게 구하는거는 대수적으로 불가능하기 때문에, 실제 에너지 준위를 구하기 위해서는 컴퓨터 계산을 활용해야 한다.

여기서도, 그래프를 잘 보면 속박된 상태의 입자가 가질 수 있는 z의 값은 $z_{0}$ 값에 따라 유한하며, 따라서 무한 퍼텐셜 우물과는 다르게 제한된 수만큼의 고유 상태를 갖는다.

속박 상태에서 유한 퍼텐셜 우물의 파동함수, 에너지

와... 엄청난 계산량을 뚫고 에너지 준위를 구했다. 그럼 이제, 속박 상태에서의 파동함수를 전체 정리해보자. 앞에서 구한 파동함수가 우함수, 기함수인 경우 모두에 대해 파동함수를 규격화한 뒤, 에너지 준위와 파동함수를 나타낸 결과는 다음과 같다.

앞에서 언급했듯, 유한 퍼텐셜 우물에서는 속박 상태의 전자가 가질 수 있는 파동함수 고유 상태의 수가 제한적이다. 그러나, 이 제한된 고유 상태의 수는 $z_{0}$ 값, 즉 $U_{0}$에 따라 변하여 고유 상태의 수가 모든 퍼텐셜 깊이에서 동일한 것은 아니다.

그리고, 저 위에서 떡밥을 살짝 뿌렸긴 한데, 파동함수를 보면 우물 밖은 퍼텐셜이 입자의 에너지보다 더 높은데, 파동함수가 지수함수의 꼴로 존재한다는 것을 알 수 있다. 고전역학적으로 봤을때는 역학적 에너지 보존 법칙 때문에 퍼텐셜이 역학적 에너지보다 높은 구역에 들어갈 수 없지만, 양자역학에서는 따라서 유한 퍼텐셜 우물에서는 우물 밖에서도 입자가 관측될 수 있는 것이다!! (오우 노우...)

속박 상태에서 유한 퍼텐셜 우물과 무한 퍼텐셜 우물의 관계

유도하면서 보니까 퍼텐셜 벽 안에 있는 꼬다리 부분을 제외하고는 생각보다 무한 퍼텐셜 우물과 파동함수가 비슷하게 나왔다. 그러면 속박 상태 유한 퍼텐셜 우물과 무한 퍼텐셜 우물의 관계는 어떻게 될까? 일단 두 문제가 다른 결정적 원인인 퍼텐셜부터 비교해보자.

유한 퍼텐셜 우물은 퍼텐셜이 유한한 값을 가지며, 무한 퍼텐셜 우물은 퍼텐셜이 무한히 크다. 그러면, 유한 퍼텐셜 우물의 퍼텐셜을 극한으로 무한히 키우면 무한 퍼텐셜 우물의 결과가 나올까? 한번 확인해보자.

여기서, $z_{0} := a\sqrt{\frac{2mU_{0}}{\hbar ^ 2}}$이므로, 유한 퍼텐셜 우물의 퍼텐셜 $U_{0}$를 무한대로 키우면 $z_{0}$도 무한대로 커진다. 그러면, 파동함수가 우함수일 때, 기함수일 때 $z_{0}$가 무한히 커지면 각각 고유 상태 퍼텐셜이 어떻게 변하는지 살펴보자.

일단, 파동함수가 우함수인 경우부터 살펴보자. $z_{0}$ 값을 키웠을 때 우리가 $z$값을 구해냈었던 식 $\mathrm{tan} z = \sqrt{(\frac{z_{0}}{z}) ^{2} - 1}$의 해를 위에서 보았던 그래프로부터 관찰해보면 다음과 같다.

위 그래프 영상에서 파란색 실선은 $z_{0}$가 10일 때의 $y= \sqrt{(\frac{z_{0}}{z}) ^{2} - 1}$ 그래프이고, 보라색 실선은 $z_{0}$가 0부터 99까지 커질 때의 $y= \sqrt{(\frac{z_{0}}{z}) ^{2} - 1}$ 그래프이다. 잘 보면, $z_{0}$ 값이 커짐에 따라 교점이 $y = \mathrm{tan} z$의 점근선에 다가감을 알 수 있다. 따라서, 이로부터 $z_{0}$가 무한히 커지면 다음 관계가 성립함을 도출할 수 있다.

$$\lim _{ z _{0} \to \infty} z = \frac{n\pi}{2}\, (n\rm{은\, 홀수인\, 자연수})$$

이 값을 $z := ka = a\sqrt{\frac{2m}{\hbar ^ 2} (E + U_{0})}$에 넣어주자.

$$\begin{aligned}
\frac{n\pi}{2} &= a\sqrt{\frac{2m}{\hbar ^ 2} (E + U_{0})} \\
E + U_{0} &= \frac{n ^{2} \hbar ^{2} \pi ^{2}}{2m (2a) ^{2}} = \frac{n ^{2} h ^{2}}{8m (2a) ^{2}}
\end{aligned}$$

여기서, $E + U_{0}$은 우물 안의 퍼텐셜을 0, 우물 밖의 퍼텐셜을 $U_{0}$로 두었을 때 입자의 에너지 이므로, 이때 퍼텐셜 우물에서 허용된 에너지는 무한 퍼텐셜 우물의 형태에서 우물의 길이가 2a인 경우 중 양자수가 홀수인 고유 상태에 해당하게 된다!​

다음으로, 파동함수가 기함수인 경우부터 살펴보자. $z_{0}$ 값을 키웠을 때 우리가 $z$값을 구해냈었던 식 $-\mathrm{cot} z = \sqrt{(\frac{z_{0}}{z}) ^{2} - 1}$의 해를 위에서 보았던 그래프로부터 관찰해보면 다음과 같다.

여기서, 파란색 실선은 $z_{0}$가 10일 때의 $y= \sqrt{(\frac{z_{0}}{z}) ^{2} - 1}$ 그래프이고, 보라색 실선은 $z_{0}$가 0부터 99까지 커질 때의 $y= \sqrt{(\frac{z_{0}}{z}) ^{2} - 1}$ 그래프이다. 잘 보면, $z_{0}$ 값이 커짐에 따라 교점이 $y = -\mathrm{cot} z$의 점근선에 다가감을 알 수 있다. 따라서, 이로부터 $z_{0}$가 무한히 커지면 다음 관계가 성립함을 도출할 수 있다.

$$\lim _{ z _{0} \to \infty} z = \frac{n\pi}{2}\, (n\rm{은\, 짝수인\, 자연수})$$

우함수인 경우에서 했던 것과 비슷하게, 이 값을 $z := ka = a\sqrt{\frac{2m}{\hbar ^ 2} (E + U_{0})}$에 넣어주자.

$$\begin{aligned}
\frac{n\pi}{2} &= a\sqrt{\frac{2m}{\hbar ^ 2} (E + U_{0})} \\
E + U_{0} &= \frac{n ^{2} \hbar ^{2} \pi ^{2}}{2m (2a) ^{2}} = \frac{n ^{2} h ^{2}}{8m (2a) ^{2}}
\end{aligned}$$

오! 파동함수가 기함수이면 이때 퍼텐셜 우물에서 허용된 에너지는 무한 퍼텐셜 우물의 형태에서 우물의 길이가 2a인 경우 중 양자수가 짝수인 고유 상태에 해당하게 된다.

정리해보면, 유한 퍼텐셜 우물의 깊이 $U_{0}$가 무한히 깊어지면, 유한 퍼텐셜 우물의 에너지 준위는 무한 퍼텐셜 우물의 에너지 준위에 근사해진다. 그리고, 유한 퍼텐셜 우물의 파동함수 중 우함수인 경우는 양자수가 홀수인 무한 퍼텐셜 우물의 에너지 준위를 띄고, 기함수인 경우는 양자수가 짝수인 무한 퍼텐셜 우물의 에너지 준위를 띈다.

비속박 상태에서 유한 퍼텐셜 우물의 해

복잡한 수식들이 우리에게 헥토파스칼킥을 날리고 있다. 슬프지만, 이제 겨우 반 왔다. 그러나, 비속박 상태는 속박 상태보다 풀기 더 쉽기 때문에 조금만 힘을 더 내 보자!!

속박 상태에서는 입자가 퍼텐셜 우물 안에 “갇혀 있는 상태”였지만, 비속박 상태에서는 상황이 완전히 달라진다. 이 경우 입자는 퍼텐셜 우물에 갇혀 있지 않고, 우물 밖에서도 자유롭게 움직일 수 있는 상태이다. 그래서, 비속박 상태는 자유입자처럼 속박 상태와는 다르게 에너지가 양자화되지 않고 연속적인 값을 가진다.

그러면, 본격적으로 비속박 상태($E>0$)를 풀어보자. 일단 먼저 유한 퍼텐셜 우물의 고유 상태 파동함수를 구하기 위해서 시간 비의존 슈뢰딩거 방정식을 살펴보자.

$$E \psi = -\frac{\hbar ^ 2}{2m} \frac{\partial ^2}{\partial x^2}\psi + U\psi$$

비속박 상태에서도 위치에 따라서 퍼텐셜이 달라지기 때문에 상황을 세 부분($x < -a$, $-a \leq x \leq a$, $x > a$)으로 나눠서 파동함수를 각각 따로 구해준 뒤 합쳐야 한다.

우물 안에서의 파동함수

일단 우물 안($-a \leq x \leq a$)에서의 상황을 생각해보자. 우물 안에서 퍼텐셜은 $-U_{0}$이므로, 우물 안에서의 시간 비의존 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같다.

$$E \psi = -\frac{\hbar ^ 2}{2m} \frac{\partial ^2}{\partial x^2}\psi - U_{0}\psi$$

보기 좋게, 에너지에 $\psi$가 곱해진 항은 좌변으로 몰아주자.

$$(E + U_{0}) \psi = -\frac{\hbar ^ 2}{2m} \frac{\partial ^2}{\partial x^2}\psi$$

너무 익숙한 미분방정식 꼴이다. 계속 풀었던 방식과 비슷하게 편미분 연산자가 적용된 항 말고는 모두 한 곳에 몰아준 뒤 $\frac{2m}{\hbar ^ 2} (E + U_{0}) := k ^{2}$로 치환해주자. ($k := \sqrt{\frac{2m}{\hbar ^ 2} (E + U_{0})}$) 그리고, 미분방정식을 푼 후 오일러 공식을 사용해주면 다음과 같이 파동함수를 구할 수 있다.

$$\psi = c_1 e^{+ikx} + c_2 e^{-ikx} = A\mathrm{sin}(kx) + B\mathrm{cos}(kx)$$

우물 밖에서의 파동함수

다음으로 우물 밖($x < -a$, $x > a$)에서의 상황을 생각해보자. 우물 안에서 퍼텐셜은 0이므로, 우물 안에서의 시간 비의존 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같다.

$$E \psi = -\frac{\hbar ^ 2}{2m} \frac{\partial ^2}{\partial x^2}\psi$$

여기서도 전에 미분 방정식을 풀었던 방식과 비슷하게 편미분 연산자가 적용된 항 말고는 모두 한 곳에 몰아주자.

$$\frac{\partial ^2}{\partial x^2}\psi = -\frac{2mE}{\hbar ^ 2} \psi$$

속박 상태랑 다르게, 이번에는 $E > 0$이라서, $\frac{2mE}{\hbar ^ 2} := l ^{2}$로 치환해주자. ($l := \sqrt{\frac{2mE}{\hbar ^ 2}}$)

$$\frac{\partial ^2}{\partial x^2}\psi = -l ^{2} \psi$$

앞에서 계속 사용했던 방법을 쓰면, 위 미분 방정식을 푼 일반해는 다음과 같다.

$$\psi = c_{1} e^{+ilx} + c_{2} e^{-ilx}$$

(여기서는 오일러 공식을 안 쓰면 문자를 하나 더 줄일 수 있기 때문에 오일러 공식을 쓰지 말자.)

따라서, 정리해보면 우물 밖에서의 파동함수의 꼴은 다음과 같다.

$$\psi (x) = \left\{\begin{matrix}
C e^{+ilx} + D e^{-ilx} & (x < -a) \\
F e^{+ilx} + G e^{-ilx} & (x > a) \\
\end{matrix}\right.$$

그런데, 여기서 나중에 경계 조건을 생각해보면 나올 수 있는 방정식의 수는 4개(x=a, -a에서 연속, 미분가능 조건)인데, 미지수는 6개로 풀기 매우 빡세다. (어거지로 푼다고 해도 매개변수가 2개 나와서 모든 계수들을 한 계수의 상수배 형태로 나타낼 수 없다.) 따라서, 미지수를 하나라도 줄이기 위해서 입자를 좌측에서부터 우측으로 입사시키는 경우에 대해 파동함수를 생각해보자.

이렇게 되면, 이 겁나 많은 미지수 중 $G = 0$ 항은 날아간다. (야호!) 왜냐하면 $\Psi = \psi \phi = \psi e ^{-iwt}$ 형태로 시간항을 파동함수에 곱해주면 $G e^{-i(lx+wt)}$가 되어 시간에 따라 오른쪽에서 입자가 입사되는 물질파로 되고, 입자는 좌측에서 입사되기 때문에 , 오른쪽에서 입사되는 물질파 성분의 기여도는 0이 되어야 하므로 당연히 $G=0$이 되어야 한다.

경계 조건

이제, 위의 속박 조건을 풀었던 것과 비슷하게, 계수 A, B, C, D, F 간의 관계식을 구해 각 범위에서 따로 놀고 있는 파동함수를 합쳐주기 위해서 연속, 미분가능성 경계 조건을 적용해주자.

일단, 지금까지 구한 우물 밖에서의 파동함수의 꼴은 다음과 같다.

$$\psi (x) = \left\{\begin{matrix}
C e^{+ilx} + D e^{-ilx} & (x < -a) \\
A\mathrm{sin}(kx) + B\mathrm{cos}(kx) & (-a \leq x \leq a) \\
F e^{+ilx} & (x > a) \\
\end{matrix}\right.$$

먼저, x = -a에 대해 경계 조건을 적용한 결과는 다음과 같다.

$$\begin{aligned}
\lim _{x \to -a^{-}} \psi (x) &= \lim _{x \to -a^{+}} \psi (x) : \\
& C e^{-ila} + D e^{+ila} = A\mathrm{sin}(-ka) + B\mathrm{cos}(-ka) = -A\mathrm{sin}(ka) + B\mathrm{cos}(ka) \\
\lim _{x \to -a^{-}} \frac{\partial \psi (x)}{\partial x} &= \lim _{x \to -a^{+}} \frac{\partial \psi (x)}{\partial x} : \\
& \begin{matrix} \lim _{x \to -a^{+}} (il C e^{+ilx} -il D e^{-ilx}) = \lim _{x \to -a^{-}} (k A\mathrm{cos}(kx) - k B\mathrm{sin}(kx)) \\
\therefore il C e^{-ila} -il D e^{+ila} = k A\mathrm{cos}(-ka) - k B\mathrm{sin}(-ka) = k A\mathrm{cos}(ka) + k B\mathrm{sin}(ka) \end{matrix}
\end{aligned}$$

그리고, x = a에 대해 경계 조건을 적용한 결과는 다음과 같다.

$$\begin{aligned}
\lim _{x \to a^{-}} \psi (x) &= \lim _{x \to a^{+}} \psi (x) : \\
& A\mathrm{sin}(ka) + B\mathrm{cos}(ka) = F e^{+ila} \\
\lim _{x \to -a^{-}} \frac{\partial \psi (x)}{\partial x} &= \lim _{x \to -a^{+}} \frac{\partial \psi (x)}{\partial x} : \\
& \begin{matrix} \lim _{x \to a^{-}} (k A\mathrm{cos}(kx) - k B\mathrm{sin}(kx)) = \lim _{x \to a^{+}} (il F e^{+ilx}) \\
\therefore k A\mathrm{cos}(ka) - k B\mathrm{sin}(ka) = il F e^{+ila} \end{matrix}
\end{aligned}$$

따라서, 연속성과 미분가능성 경계 조건에 의해 도출되는 각 계수간의 관계는 다음과 같다.

$$\begin{aligned}
& C e^{-ila} + D e^{+ila} = -A\mathrm{sin}(ka) + B\mathrm{cos}(ka) , \\
& A\mathrm{sin}(ka) + B\mathrm{cos}(ka) = F e^{+ila} , \\
& il C e^{-ila} -il D e^{+ila} = k A\mathrm{cos}(ka) + k B\mathrm{sin}(ka) , \\
& k A\mathrm{cos}(ka) - k B\mathrm{sin}(ka) = il F e^{+ila}
\end{aligned}$$

두 번째 식과 네 번째 식의 우변이 $F e^{+ila}$로 너무 비슷하다. 일단 네 번째 식을 정리해주자.

$$
\left\{\begin{matrix}
A\mathrm{sin}(ka) + B\mathrm{cos}(ka) = F e^{+ila} \\
A\mathrm{cos}(ka) - B\mathrm{sin}(ka) = \frac{il}{k} F e^{+ila} \\
\end{matrix}\right.
$$

윗 식의 양 변에 $\mathrm{cos}(ka)$, 아래 식의 양 변에 $\mathrm{sin}(ka)$를 곱해주자.

$$
\left\{\begin{matrix}
A\mathrm{sin}(ka)\mathrm{cos}(ka) + B\mathrm{cos} ^{2}(ka) = F \mathrm{cos}(ka) e^{+ila} \\
A\mathrm{sin}(ka)\mathrm{cos}(ka) - B\mathrm{sin} ^{2}(ka) = \frac{il}{k} F\mathrm{sin}(ka) e^{+ila} \\
\end{matrix}\right.
$$

이제 윗 식과 아래 식을 빼줘서 A를 소거하자.

$$\begin{aligned}
&B(\mathrm{cos} ^{2}(ka) +\mathrm{sin} ^{2}(ka) ) = Fe^{+ila}(\mathrm{cos}(ka) - \frac{il}{k}\mathrm{sin}(ka)) \\
&\therefore B = Fe^{+ila}(\mathrm{cos}(ka) - \frac{il}{k}\mathrm{sin}(ka))
\end{aligned}$$

B가 F에 관한 식으로 나왔다. 이제, A의 F에 관한 식을 구할 차례다. 위에서 cos, sin을 양변에 각각 곱하기 전 식을 다시 들고와보자.

$$
\left\{\begin{matrix}
A\mathrm{sin}(ka) + B\mathrm{cos}(ka) = F e^{+ila} \\
A\mathrm{cos}(ka) - B\mathrm{sin}(ka) = \frac{il}{k} F e^{+ila} \\
\end{matrix}\right.
$$

이번에는 반대로 윗 식의 양 변에 $\mathrm{sin}(ka)$, 아래 식의 양 변에 $\mathrm{cos}(ka)$를 곱해주자.

$$
\left\{\begin{matrix}
A\mathrm{sin} ^{2} (ka) + B\mathrm{sin}(ka)\mathrm{cos}(ka) = F e^{+ila} \mathrm{sin}(ka) \\
A\mathrm{cos} ^{2} (ka) - B\mathrm{sin}(ka)\mathrm{cos}(ka) = \frac{il}{k} F e^{+ila} \mathrm{cos}(ka) \\
\end{matrix}\right.
$$

이제 윗 식과 아래 식을 더해줘서 B를 소거하자.

$$\begin{aligned}
&A(\mathrm{cos} ^{2}(ka) +\mathrm{sin} ^{2}(ka) ) = Fe^{+ila}(\mathrm{sin}(ka) + \frac{il}{k}\mathrm{cos}(ka)) \\
&\therefore A = Fe^{+ila}(\mathrm{sin}(ka) + \frac{il}{k}\mathrm{cos}(ka))
\end{aligned}$$

드디어 A가 F에 관한 식으로 나왔다. 마지막으로, 이 A, B의 관계식을 저 위에 있는 아직 쓰지 않은 첫 번째와 세 번째 경계 조건 식에 대입해줘서 C, D를 F에 관한 식으로 나타내자.

$$
\left\{\begin{matrix}
& C e^{-ila} + D e^{+ila} = -Fe^{+ila}(\mathrm{sin} ^{2}(ka) + \frac{il}{k}\mathrm{sin}(ka)\mathrm{cos}(ka)) + Fe^{+ila}(\mathrm{cos} ^{2}(ka) - \frac{il}{k}\mathrm{sin}(ka)\mathrm{cos}(ka)) , \\
& il C e^{-ila} -il D e^{+ila} = k Fe^{+ila}(\mathrm{sin}(ka)\mathrm{cos}(ka) + \frac{il}{k}\mathrm{cos} ^{2}(ka)) + k Fe^{+ila}(\mathrm{sin}(ka)\mathrm{cos}(ka) - \frac{il}{k}\mathrm{sin} ^{2} (ka)) \\
\end{matrix}\right.$$

$$
\left\{\begin{matrix}
& C e^{-ila} + D e^{+ila} = Fe^{+ila}(\mathrm{cos}(2ka) - \frac{il}{k}\mathrm{sin}(2ka)), \\
& il C e^{-ila} -il D e^{+ila} = k Fe^{+ila}(\mathrm{sin}(2ka) + \frac{il}{k}\mathrm{cos}(2ka)) \\
\end{matrix}\right.$$

$$
\left\{\begin{matrix}
& C e^{-ila} + D e^{+ila} = Fe^{+ila}(\mathrm{cos}(2ka) - \frac{il}{k}\mathrm{sin}(2ka)), \\
& C e^{-ila} - D e^{+ila} = Fe^{+ila}(\frac{k}{il}\mathrm{sin}(2ka) + \mathrm{cos}(2ka)) \\
\end{matrix}\right.$$

$$
\left\{\begin{matrix}
& C e^{-ila} + D e^{+ila} = Fe^{+ila}(\mathrm{cos}(2ka) - \frac{il}{k}\mathrm{sin}(2ka)), \\
& C e^{-ila} - D e^{+ila} = Fe^{+ila}(\mathrm{cos}(2ka) -\frac{ik}{l}\mathrm{sin}(2ka)) \\
\end{matrix}\right.$$

윗 식과 아래 식을 더해서 D를 소거하자.

$$\begin{aligned}
&2C e^{-ila} = Fe^{+ila}(2\mathrm{cos}(2ka) - (\frac{il}{k} + \frac{ik}{l})\mathrm{sin}(2ka)) \\
&\therefore C = Fe^{+2ila}(\mathrm{cos}(2ka) - i(\frac{l ^{2} + k ^{2}}{lk})\mathrm{sin}(2ka))
\end{aligned}$$

이번에는 윗 식에서 아래 식을 빼서 C를 소거하자.

$$\begin{aligned}
&2D e^{+ila} = Fe^{+ila}(\frac{ik}{l} - \frac{il}{k})\mathrm{sin}(2ka) \\
&\therefore D = iF(\frac{k ^{2} - l ^{2}}{lk})\mathrm{sin}(2ka)
\end{aligned}$$

이제, 모든 계수 A, B, C, D, F가 F에 관한 식으로 표현되었다. 따라서, 결과적으로 유도되는 (규격화되지 않은) 비속박 상태의 파동함수는 다음과 같다.

$$\psi (x) = \left\{\begin{matrix}
Fe^{+2ila}(\mathrm{cos}(2ka) - i(\frac{l ^{2} + k ^{2}}{lk})\mathrm{sin}(2ka)) e^{+ilx} + iF(\frac{k ^{2} - l ^{2}}{lk})\mathrm{sin}(2ka) e^{-ilx} & (x < -a) \\
Fe^{+ila}(\mathrm{sin}(ka) + \frac{il}{k}\mathrm{cos}(ka)) \mathrm{sin}(kx) + Fe^{+ila}(\mathrm{cos}(ka) - \frac{il}{k}\mathrm{sin}(ka))\mathrm{cos}(kx) & (-a \leq x \leq a) \\
F e^{+ilx} & (x > a) \\
\end{matrix}\right.$$

투과 계수와 반사 계수

이제, 왼쪽에서 입사된 입자의 물질파 중 유한 퍼텐셜 우물을 뚫고 계속 오른쪽으로 진행하는 비율인 투과 계수($T$)와, 유한 퍼텐셜 우물에 의해 입사된 방향으로 다시 튕겨저나갈 비율인 반사 계수($R$)를 구해보자.

파동함수의 확률 진폭 해석에 따라 투과 계수와 반사 계수는 다음과 같이 투과파와 반사파의 진폭의 절댓값 제곱을 활용하여 구할 수 있다.

$$T = \frac{|F| ^{2}}{|C| ^{2}}, \, R = \frac{|D| ^{2}}{|C| ^{2}}$$
(여기서는 우물의 왼쪽과 오른쪽에서 퍼텐셜이 동일하므로, 파동의 파수가 같아 추가적인 보정 없이 위 식이 그대로 성립한다.)

이제, 위에서 구한 각 계수별 관계식을 대입해주자.

$$\begin{aligned}
T &= \frac{|F| ^{2}}{|C| ^{2}} \\
&= \frac{|F| ^{2}}{|F| ^{2} (\mathrm{cos} ^{2} (2ka) + (\frac{l ^{2} + k ^{2}}{lk}) ^{2} \mathrm{sin} ^{2}(2ka))} \\
&= \frac{1}{\mathrm{cos} ^{2} (2ka) + (\frac{l ^{2} + k ^{2}}{lk}) ^{2} \mathrm{sin} ^{2}(2ka)}
\end{aligned}$$

$$\begin{aligned}
R &= \frac{|D| ^{2}}{|C| ^{2}} \\
&= \frac{|F| ^{2} (\frac{k ^{2} - l ^{2}}{lk}) ^{2}\mathrm{sin} ^{2}(2ka)}{|C| ^{2}} \\
&= T (\frac{k ^{2} - l ^{2}}{lk}) ^{2}\mathrm{sin} ^{2}(2ka)
\end{aligned}$$

음.. 여기서 투과율과 반사율을 더해보자.

$$\begin{aligned}
T + R &= T(1+(\frac{k ^{2} - l ^{2}}{lk}) ^{2}\mathrm{sin} ^{2}(2ka)) \\
& = T(\mathrm{cos} ^{2}(2ka) + \mathrm{sin} ^{2}(2ka) +(\frac{k ^{2} - l ^{2}}{lk}) ^{2}\mathrm{sin} ^{2}(2ka)) \\
&= T(\mathrm{cos} ^{2}(2ka) + (1+(\frac{k ^{2} - l ^{2}}{lk}) ^{2})\mathrm{sin} ^{2}(2ka)) \\
&= T(\mathrm{cos} ^{2}(2ka) + (1+\frac{k ^{4} -2 l ^{2} k ^{2} + l ^{4}}{l ^{2}k ^{2}})\mathrm{sin} ^{2}(2ka)) \\
&= T(\mathrm{cos} ^{2}(2ka) + (\frac{k ^{4} +2 l ^{2} k ^{2} + l ^{4}}{l ^{2}k ^{2}})\mathrm{sin} ^{2}(2ka)) \\
&= T(\mathrm{cos} ^{2}(2ka) + (\frac{k ^{2} + l ^{2}}{lk}) ^{2}\mathrm{sin} ^{2}(2ka)) \\
&= \frac{1}{\mathrm{cos} ^{2} (2ka) + (\frac{l ^{2} + k ^{2}}{lk}) ^{2} \mathrm{sin} ^{2}(2ka)} (\mathrm{cos} ^{2}(2ka) + (\frac{k ^{2} + l ^{2}}{lk}) ^{2}\mathrm{sin} ^{2}(2ka)) \\
&= 1
\end{aligned}$$

오! 투과율과 반사율의 합이 1이다. 이는 입자가 반사되거나 투과되는 확률의 합이 1이라는, "확률 보존 법칙"에 해당한다.

그리고, 투과율 식을 눈을 크게 뜨고 보면, 흥미로운 사실을 발견할 수 있다. 만약 다음 식을 만족하게 된다면,

$$\mathrm{sin} (2ka) = 0 \to 2ka = n\pi \, (\text{단, n은 정수})$$

투과율 $T = 1$이 되어 버린다. 즉, 퍼텐셜 우물이 분명히 존재함에도 불구하고, 입자가 전혀 반사되지 않고 완전히 투과하게 된다! 이 현상은 고전역학에서는 절대 나타날 수 없다..

유한 퍼텐셜 우물 문제에서 이러한 현상이 발생하는 이유는 우물 내부에서의 파동이 단순히 진행하는 것이 아니라, 입사파와 반사파가 겹쳐지면서 간섭을 일으키기 때문이다. 특정 조건에서는 반사파가 완전히 상쇄되어, 결과적으로 입자가 아무런 방해 없이 우물을 통과하는 것처럼 보이게 된다.

결론

이번 글에서는 무한 퍼텐셜 우물의 이상적인 가정을 벗어나, 보다 현실적인 모델인 유한 퍼텐셜 우물을 다루어 보았다. 퍼텐셜이 유한해지는 순간 문제의 난이도는 많이 어려워졌지만, 그만큼 더 풍부한 물리적 현상이 나타난다는 점을 확인할 수 있었다.

속박 상태($E<0$)에서는 입자가 우물 안에 주로 존재하면서도, 고전적으로는 허용되지 않는 영역인 우물 밖까지 파동함수가 지수적으로 퍼져나가는 현상이 나타난다. 또한, 퍼텐셜의 깊이에 따라 허용되는 에너지 준위의 개수가 유한해진다는 점도 중요한 차이이다.

한편, 비속박 상태($E>0$)에서는 입자가 퍼텐셜 우물에 의해 완전히 갇히지 않고, 입사, 반사, 투과되는 산란 문제로 해석된다. 이 과정에서 투과 계수 T와 반사 계수 R를 정의할 수 있으며, 두 값의 합이 1이 된다는 결과는 확률 보존 법칙을 잘 반영한다. 특히, 특정 조건에서 퍼텐셜이 존재함에도 불구하고 완전 투과($T=1$)가 일어나는 현상은, 입자의 파동적 성질과 간섭 효과가 만들어내는 순수한 양자역학적 결과다!

다음 시간에는 속박 상태에서 우물 밖까지 파동함수가 지수적으로 퍼져나갔던 현상을 더 파고들어, 무려 입자가 퍼텐셜 벽 너머서도 존재할 수 있게 되는 터널링 현상에 관해서 알아보도록 하자.

참고 문헌

• Griffiths, D. J., & Schroeter, D. F. (2018). Introduction to quantum mechanics (3rd ed.). Cambridge University Press.
• 나무위키 - 슈뢰딩거 방정식/사각 퍼텐셜 문제 (https://namu.wiki/w/슈뢰딩거%20방정식/사각%20퍼텐셜%20문제#s-6)
• https://sgsrvilla.tistory.com/123, https://sgsrvilla.tistory.com/124
• https://m.blog.naver.com/deantroub1e/223070871573