파동함수가 살고 있는 세상을 파헤쳐보자
지난 글에서 양자역학의 핵심인 파동함수의 시간적 거동을 기술해주는 ‘슈뢰딩거 방정식’에 대해 알아보았다. 그 복잡해 보였던 양자역학의 파동함수가 결국 슈뢰딩거 방정식이란 미분 방정식 두 줄로 기술된다는 사실을 알고 매우 신기했을 거다.
그런데, 이번 글부터는 이 "파동함수"를 조금 다른 관점에서 살펴볼 것이다. 지금까지 우리는 파동함수 $\psi(x)$를 함수로 다루며 그래프를 상상해왔지만, 물리학자들은 사실 이 파동함수를 손으로 그리는 걸 별로 좋아하지 않는다. 성격 급한 물리학자들에게 매번 복잡한 미적분을 계산하는 건 너무 귀찮기 때문이다.
하이젠베르크도 그 물리학자들 중 하나였고, 그래서 그는 엄청난 "꼼수"(?)를 부리기 시작한다. 눈에 보이는 파동 그래프를 과감히 버리고, 대신 선형대수학이라는 수학적 도구를 가져와 파동을 가로 세로로 쪼개진 '행렬'과 '벡터'의 세계로 올려버린 것이다!
앞으로 세 글동안 우리가 '함수'라고 믿었던 파동함수가 거대한 다차원 공간의 '벡터'로, 그리고 복잡한 연산자들이 멋진 정사각행렬로 변신하는 과정을 알아본다. 겉보기에는 추상도가 매우 높아 머리가 터질 것 같지만, 이 선형대수학의 뼈대를 한번 제대로 이해하고 나면 오히려 복잡한 미적분 덩어리들이 기초적인 행렬 곱셈으로 변하는 기적을 경험하게 된다.
하이젠베르크와 슈뢰딩거, 두 천재가 완전히 다른 문법으로 풀어재꼈던 양자역학이 선형대수학이라는 거대한 지붕 아래에서 어떻게 완벽하게 하나로 묶이는지, 그 전율 돋는 평행이론의 세계로 들어가보자. 머리가 깨질 각오를 단단히 하고 글을 차근차근 읽어보자!
파동함수와 힐베르트 공간
힐베르트 공간과 $L^2$ 공간
지금까지 우리는 파동함수 $\psi(x)$를 함수로서 다루며, 정규화나 내적과 같은 연산을 수행해왔다. 그런데 이러한 연산들을 살펴보면, 파동함수는 단순한 함수라기보다 벡터와 유사한 성질을 가진다는 것을 알 수 있다. 예를 들어, 파동함수끼리는 더할 수 있고, 상수배를 할 수 있으며, 내적 또한 정의되어 있다.
이러한 관점에서 파동함수를 보다 체계적으로 다루기 위해, 함수들을 벡터처럼 취급할 수 있는 수학적 틀인 힐베르트 공간을 도입하자. 여기서, 양자역학에서 살펴보는 파동함수는 이 힐베르트 공간이라는 내적 공간의 벡터이다.
힐베르트 공간은 완비 내적 공간이다. 여기서 완비 내적 공간이란 완비 거리 공간과 내적 공간이 합쳐진 말로, "내적 연산으로 정의된 거리 함수에 대해, 코시 수열이 항상 수렴하는 공간"을 말한다.
위 정의를 듣고, 아마 여러분의 반응은 다음과 같을 게 딱 봐도 알겠다.
띠용??
사실 양심 고백을 하자면, 필자도 위 정의를 100% 이해하지는 못한다. 대충 겁나 촘촘한 내적 공간이라고만 대충 이해하고 넘어가자. 사실 양자화학에서는 힐베르트 공간 그 자체보다 힐베르트 공간 중 한 종류인 $L^2$ 공간이 훨씬 더 중요하다.
$L^2$ 공간이란 절댓값의 제곱이 함수의 정의역 전체에서 적분 가능한 함수들로 이루어진 힐베르트 공간이다. 이를 수식으로 다시 써보면 다음과 같다. 여기서 $f$는 함수 그 자체가 아니라 “함수로 표현되는 벡터”를 의미하며, $f(x)$는 그 벡터를 위치 $x$에서 표현한 값이다.
$$f \in \mathbf{L^{2}} \Longleftrightarrow \int _{-\infty} ^ {\infty} |f(x)| ^{2} dx < \infty$$
음... 뭔가 위에서 봤던 행실 좋은 파동함수의 조건 중 하나인 "규격화 가능함"이 생각난다. 그 조건에 따르면, "파동함수의 절댓값 제곱이 정의역 내에서 적분이 가능해 규격화 가능함"이었는데, 이 정의가 위 $L^2$ 공간의 정의와 일맥상통한다! 따라서, 행실 좋은 파동함수는 모두 $L^2$ 공간의 벡터이다.
파동함수의 내적과 Braket 표기법
파동함수도 내적 공간인 $L^2$ 공간의 벡터이기 때문에, 파동함수의 내적이 존재한다. 앞서 규격화와 직교성을 다루는 과정에서 두 파동함수의 켤레곱을 적분하는 표현이 반복적으로 등장했는데, 이는 바로 이 내적의 구체적인 형태에 해당한다.
일반적으로, 두 파동함수 $f$, $g$의 내적은 다음과 같이 켤레끼리의 곱을 전 영역에서 적분한 것으로 정의된다.
$$\braket{g, f} := \int _{-\infty} ^{\infty} f^* g dx$$
음... 기억 속을 더듬어보면 이 켤레곱 적분 연산을 짧게 표시하기 위해서 다음과 같이 Braket 표기법을 정의했었다.
$$\braket{f|g} := \int _{-\infty} ^{\infty} f ^* g dx$$
오! 이렇게 되면 Braket 표기법이 사실 두 파동함수의 내적을 나타내고 있다고 볼 수도 있다. 다시 보면, 파동함수의 직교성과 정규성은 사실 벡터의 직교성과 정규성이랑 같은 개념인 것이었다!
그런데, 이번 글에서는 Braket 표기법을 그냥 내적 표기법 간결화에서만 그치지 않고, 이를 풀어헤쳐서 벡터로써 해석한다. 위에서, $\braket{f|g}$를 수직인 선 기준으로 두 부분으로 쪼개서, $\bra{f}\ket{g}$의 형태로 나타낼 수 있다. 여기서, 앞 부분인 $\bra{f}$ 부분을 Bra라고 하며, 뒷 부분인 $\ket{g}$ 부분을 Ket라고 한다.
$$\braket{f|g} = \bra{f} \ket{g}$$
그리고, 고전역학에서 변위를 나타내는 벡터 $\vec{x}$와 구분하기 위해서, 양자역학에서 $L^2$ 공간의 원소로서 벡터는 $\vec{f}$이나 $\mathbf{f}$ 대신에 다른 표기를 사용한다. 선형 대수학에서 내적을 나타내는 표현 $\braket{\mathbf{u}, \mathbf{v}}$ 중 뒷 부분 $\mathbf{v}$이 벡터인 것처럼, 양자역학에서는 $L^2$ 공간의 벡터를 수직인 선 뒷 부분인 Ket의 형태로 $\ket{g}$와 같이 표현한다.
즉, $\ket{1}$이라는 표기는 숫자 $1$을 의미하는 게 아니고, $1$이라는 라벨을 가진 파동함수를 의미합니다. (쉽게 말하면 $\ket{1} \approx \psi_{1}$이라고 보면 편합니다.)
실제로 $\ket{n}$과 같은 표기는 해밀토니안의 n번째 고유상태를 나타냅니다.
이렇게 되면, Bra 부분을 억지로 함수 형태로 표현하려고 하면 Braket에서 Ket을 제거한 다음과 같은 형태를 떠올릴 수 있다.
$$\bra{f} = \int _{-\infty} ^{\infty} f ^* (x) \{ \;\;\;\; \} dx \;\;?????$$
음... 적분 기호 안에 빈 칸이 있는 것 자체가 너무 이상하다. 따라서, Bra 부분을 따로 해석적으로 표현하는 방법을 찾기에는 매우 빡세고, Bra는 Ket에 작용해서 내적을 만들어내는 대상이라고 보는게 맞다. 따라서, Bra는 함수 그 자체라기보다는, Ket에 작용하여 하나의 복소수 값을 반환하는 선형 변환으로 이해하는 것이 더 적절하다.
선형대수학의 관점에서 보면, Ket $\ket{f}$가 속한 벡터 공간이 있을 때, Bra $\bra{f}$는 그 공간의 쌍대 공간(Dual Space)에 속하는 또 다른 벡터이다. 즉, Bra는 벡터를 입력받아 스칼라를 출력하는 선형 사상이다.
여기서, 어떤 벡터 공간 $\mathbf{V}$의 쌍대 공간 $\mathbf{V} ^*$ 이란 $\mathbf{V}$의 원소에 작용하여 실수로 가는 선형변환이 모인 또 다른 벡터 공간을 의미한다.
이러한 관점에서, Bra와 Ket는 서로 어떤 관계가 있을까? 그 답은 바로 "수반 연산자 관계의 벡터 버전"이라고 볼 수 있다. 4편 파동함수 글에서 보았듯이, 연산자 $\hat{Q}$는 Braket 표기에서 오른쪽에서 왼쪽으로 이동할 때 수반 연산자 $\hat{Q}^\dagger$로 바뀐다.
$$\braket{f|\hat{Q}g} = \braket{\hat{Q} ^\dagger f|g}$$
이와 같은 관점을 벡터에도 적용해보면, Bra $\bra{\psi}$ 역시 Ket $\ket{\psi}$의 $\psi$ 문자가 수직인 선 왼쪽으로 옮겨가서 생긴 것으로 볼 수 있다. 즉, 두 관계가 마치 수반 연산자와 비슷한 정의를 따르므로, 다음과 같이 쓸 수 있다.
$$(\ket{\psi}) ^{\dagger} = \bra{\psi}$$
(나중에 다루겠지만, 이 "수반 연산자와 비슷한 관계"를 행렬에서의 복소전치 관계라고 한다.)
양자 상태
지금까지 우리는 양자 계의 위치, 물리량 등 여러 상태를 서술하는 객체를 파동함수라는 일종의 함수로써 해석하였고, 이 파동함수를 $L^2$ 공간의 벡터로 올렸다. 그런데 여기서 한 걸음 더 나아가 생각해보자. 우리가 실제로 관심 있는 것은 특정한 “함수의 식” 자체라기보다는, 그 함수가 나타내는 물리적인 상태이다. 그래서, 위치 변수 $x$의 힘을 빌리지 않고 '물리적인 상태'를 곧바로 나타내는 방법은 없을까?
그 답은 바로 "힐베르트 공간"의 원소로서의 파동함수에 있다.
힐베르트 공간과 양자 상태
양자 입자의 '물리적 상태'를 나타내는 방법에는 여러 가지가 있다. 예를 들어서 입자의 위치를 설명할 수도 있고, 입자의 운동량을 말할 수도 있다!
그런데, 지난 시간에 다룬 불확정성 원리에 의해 각 물리량은 측정을 하기 전에는 정확하게 한 값으로 표현할 수 없고, 그 물리량에 대한 확률밀도함수로 표현된다. 따라서, 양자 입자는 위치나 운동량 등 각 물리량에 대한 파동함수를 하나씩 갖고 있다.
여기서 문제가 발생한다. 이러한 표현들은 모두 동일한 물리적 상태를 나타내고 있음에도 불구하고, 사용하는 변수와 수학적 형태가 서로 달라 하나의 통일된 틀에서 다루기 어렵다는 것이다.
따라서, 물리학자들은 선형대수학의 힘을 빌려 그냥 여러 확률밀도함수들을 벡터 공간으로 동시에 올려서 하나의 벡터로 퉁쳐버렸다. 그리고, 선형대수학에서 하나의 벡터가 기저에 따라 서로 다른 좌표로 표현될 수 있는 것처럼, 이 확률밀도함수들을 그 벡터를 일종의 "기저"로 표현한 좌표로써 보았다.
예를 들어, 파동함수는 상태 그 자체라기보다는, 위치에 관한 함수로 '물리적 상태'를 기술한 것이라고 보는 것이 더 적절하다고 보았다. 이를 다시 적으면, 파동함수는 위치 기저에서 그 상태를 표현한 좌표 표현이다.
이러한 관점을 반영하여, 양자역학에서는 물리적 상태 자체를 $\ket{\psi}$와 같이 Ket 벡터로 나타내고, 이와 같이 Ket 형태로 나타낸 물리적 상태를 양자 상태라고 한다. 그리고 우리가 지금까지, 그리고 앞으로도 익숙하게 다룰 파동함수 $\psi(x)$는 이 상태를 위치의 관점에서 표현한 일종의 "좌표 벡터"라고 말한다. 정리해보면, 다음과 같다.
- $\psi(x)$는 상태의 “표현”
- $\ket{\psi}$는 상태 그 자체
다만, $\psi(x)$와 $\ket{\psi}$는 서로 완전히 독립적인 대상이 아니라, 같은 물리적 상태를 서로 다른 방식으로 표현한 것이라는 점을 강조하기 위해 편의상 같은 기호를 사용하는 것입니다.
이 구분은 처음에는 꽤 낯설게 느껴질 수 있다. 지금까지는 파동함수 $\psi(x)$ 자체를 곧바로 “양자 입자가 가지는 상태”라고 생각해왔기 때문이다. 하지만 이제부터는 관점을 조금 바꿔서, $\psi(x)$는 어떤 상태 $\ket{\psi}$를 특정한 방식으로 표현한 것이라고 이해하는 것이 더 정확하다.
위치 기저를 활용한 양자 상태와 파동함수의 관계
그러면 양자 상태로부터 우리가 익숙하게 사용하던 파동함수를 어떻게 얻을 수 있을까? 그 답은 뜬금없이 기하와 벡터 시간에 배운 "내적"의 기하학적 정의에서 나타난다.
$\psi(x)$는 앞에서 말했듯 "특정 위치 x에서의 진폭값"이라고 말했었다. 이와 같이 $\psi(x)$는 파동함수의 위치 x에서 함숫값이라고 볼 수 있다. 그리고, 파동함수 $\psi(x)$는 양자 상태 $\ket{\psi}$를 위치의 관점에서 표현한 일종의 "좌표 벡터"라고 했다. 그러므로, $\psi (x)$는 $x=1$, $2$, $3$ 등 x 좌표 상의 모든 위치에 대해 각각 '좌표' $\psi (x_0)$를 뽑아내고, 그 좌표들을 모두 함수의 형태로 합친 것이라고 볼 수 있다.
그러면, 양자 상태에서 '좌표'를 과연 어떻게 뽑아낼까? 여기서 "내적"의 기하학적 정의가 나온다. 기하와 벡터 시간에 내적이란 어떤 벡터를 다른 벡터에 내린 '정사영'의 길이와 내려진 벡터 길이의 곱라고 배웠다. 따라서, 내적을 활용해서 '좌표'를 뽑기 위해, 특정한 위치 $x_0$에 대한 '기저'가 필요하다. 따라서, $\ket{\psi}$를 전개하는 데 필요한 위치 관점의 '기저'인 위치 기저에 관해 알아보자.
입자가 특정 위치 $x_0$에 존재한다고 측정되는 상태를 $\ket{x_0}$와 같이 쓰며, $\ket{x_0}$들 모든 위치에 대한 집합을 위치 기저라고 한다. 앞 4편 파동함수와 연산자 글에서 파동함수의 위치를 뽑아내는 연산자가 위치 연산자 $\hat{x} = x$라고 했기 때문에, 좌표 벡터를 뽑아낼 특정한 위치 '$x_0$'에 대한 위치 기저 $\ket{x_0}$는 위치 연산자의 고유함수와 비슷한 느낌의 양자 상태로 볼 수 있다. (이 느낌을 가지는 양자 상태를 고유 상태라고 한다. 다음 글에서 더 자세히 다룰 것이다.)
$$\hat{x} \ket{x_0} = x_0 \ket{x_0}$$
이제, $\ket{x_0}$를 위치 표현으로 나타내보자. 그 위치 파동함수를 $\phi _{x _0} (x)$라고 하면, 고윳값 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있다.
$$x \phi _{x _0} (x) = x_0 \phi _{x _0} (x)$$
우변을 좌변으로 이항해보면 다음과 같다.
$$(x - x_0 ) \phi _{x _0} (x) = 0$$
여기서, 모든 x값에 대해 위 등식이 성립하기 위해서 $\phi _{x _0} (x)$는 $x = x_0$ 이외에는 모두 0이어야 한다. 즉 위치 기저는 $x = x_0$에서만 값을 가지고 나머지 위치에서는 모두 0인 함수로 생각할 수 있다. 이러한 성질을 만족하는 이상화된 객체가 바로 디랙 델타 함수이다. 참고로, 계산의 편의를 위해 디렉 델타 함수의 전체 넓이를 1로 되도록 정의한다.
x = 0 위치에 대한 디랙 델타 함수를 $\delta(x)$라고 하며, 다음과 같이 정의된다. (무한대가 값이 아니기 때문에, 디랙 델타 함수는 사실 엄밀한 함수는 아니라 일종의 '분포'입니다. 하지만, 편의상 그냥 직관적으로 함수와 비슷한 형태로 받아들이는 것입니다.)
$$\delta ( x ) = \left\{\begin{matrix}
0 & (x \ne 0) \\
\infty & (x = 0) \\
\end{matrix}\right., \,\, \int _{-\infty} ^{\infty} \delta (x) dx = 1$$
즉, $\delta (x - x_0 )$는 디랙 델타 함수에 x 대신 $x - x_0$가 들어갔으므로 다음과 같다.
$$\delta (x - x_0 ) = \left\{\begin{matrix}
0 & (x \ne x_0 ) \\
\infty & (x = x_0 ) \\
\end{matrix}\right.$$
즉, 위치 기저 $\ket{x_0}$의 위치 표현 $\phi _{x _0} (x)$는 다음과 같다.
$$\phi _{x _0} (x) = \delta (x - x_0 )$$
이제, $x = x_0$ 위치에서의 위치 기저 $\ket{x_0}$를 구했으므로, $\psi(x_0)$를 구해보자. 앞에서 보았듯이 위치 기저 $\ket{x_0}$의 위치 표현은 디랙 델타 함수 $\delta(x-x_0)$이다. 즉, 우리가 구하고자 하는 $\psi (x_0)$는 바로 $\ket{\psi}$를 위치 기저 $\ket{x_0}$에 투영하여 얻어지는 좌표 성분이다. 앞에서 보았듯이 위치 기저$\ket{x_0}$의 위치 표현은 디랙 델타 함수 $\delta (x - x_0 )$이므로, 이를 이용해 그 좌표 성분을 계산할 수 있다.
디랙 델타 함수는 $x=x_0$를 제외한 모든 위치에서 0이고, 전체 넓이가 1이 되도록 정의된다. 따라서, 전 영역에서의 적분에는 $x = x_0$ 근방만 기여하게 되고, 어떤 함수에 디랙 델타 함수를 곱한 뒤 전 영역에서 적분하면 함수의 $x=x_0$에서의 값만 남게 된다. (이 성질을 디랙 델타 함수의 샘플링 성질이라고 한다.) 따라서, 다음이 성립한다.
$$\int_{-\infty}^{\infty} \delta(x-x_0)\psi(x) dx = \psi(x_0)$$
그런데 $\delta(x-x_0)$는 위치 기저 $\ket{x_0}$의 위치 표현이므로, 위 식은 Bra-Ket 표기법으로 다음과 같이 나타내줄 수 있다.
$$\braket{x_0|\psi} = \psi(x_0)$$
이제, 모든 x에 대해 이 대응 관계를 만들어 준 것이 파동함수 $\psi (x)$이므로, $x_0$를 위치 변수 x로 바꿔주면 양자 상태와 파동함수의 관계는 다음과 같다.
$$\psi (x) = \braket{x|\psi}$$
즉, 위 식은 파동함수가 양자 상태를 위치 기저에 대해 표현한 좌표 함수임을 의미한다. 다시 말해, $\ket{\psi}$는 물리적 상태 그 자체이고, $\psi (x)$는 그 상태를 위치의 관점에서 바라본 좌표 표현이다.
그러면, 반대로 파동함수가 주어졌을 때 양자 상태를 건설하는 방법은 무엇일까? 그 방법은 바로.... 두구두구두구두구두구
일주일 후에 공개합니다!
끄아아악 이게 웬 말인가? 사실 필자가 이 언급을 미루는 이유는 독자들을 괴롭히려고 그러는 게 아니라, 지금 언급하기에는 너무 어렵기 때문이다. 파동함수로부터 양자 상태를 구하는 방법을 공부하기 위해서는 다음 글에서 등장하는 양자 중첩의 개념을 활용해야한다. 그래서, 그 내용은 다음 글에서 같이 다뤄보도록 하자!
참고 자료
- Griffiths, D. J., & Schroeter, D. F. (2018). Introduction to quantum mechanics (3rd ed.). Cambridge University Press.
- Wikipedia - Hilbert Space (https://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert_space)
- Wikipedia - Lp Space (https://en.wikipedia.org/wiki/Lp_space)
- Wikipedia - Bra–ket notation
(https://en.wikipedia.org/wiki/Bra%E2%80%93ket_notation)
연습문제
힐베르트 공간과 양자 상태 연습문제입니다.
1. 다음 함수들이 $L^2$ 공간에 속하는지 판별하고, 그 이유를 서술하시오.
- $f(x)=e^{-x^2}$
- $f(x)=\frac{1}{x}$
- $f(x)=\text{cos} x$
2. 다음 두 파동함수의 내적 $\braket{f|g}$을 계산하시오. (단, 이 문제에서 $\ket{f}$와 $\ket{g}$는 각각 파동함수 $f(x)$, $g(x)$에 대응하는 양자 상태이며, 즉 $\braket{x|f} = f(x)$, $\braket{x|g} = g(x)$를 만족한다.)
- $f(x) = \frac{1}{1+ x^2 }$, $g(x) = \frac{x}{1+ x^2 }$
- $f(x) = e^{-x^2}$, $g(x) = x ^2 e^{-x^2}$ (단, $\int_{-\infty} ^{\infty} e ^{-ax ^{2}} dx = \sqrt{\frac{\pi}{a}}$이다.)
3. Braket 표기법으로 표현된 파동함수의 내적이 다음의 4가지 내적 공리를 만족함을 증명하시오. (단, k는 상수이며, $\braket{x|f} = f(x)$, $\braket{x|g} = g(x)$, $\braket{x|h} = h(x)$이다.)
- $\braket{f|g} = \braket{g|f}^*$
- $\bra{f}(\ket{g} + \ket{h}) = \braket{f|g} + \braket{f|h}$
- $\bra{f} \, (k\ket{g}) = k\braket{f|g}$
- $\braket{f|f} \ge 0$이며, $\braket{f|f} = 0 \Leftrightarrow f(x) = 0$
4. $L ^2$ 공간 내의 서로 직교하는 두 양자 상태는 서로 선형 독립임을 증명하시오.
5. 다음 디랙 델타 함수를 포함한 적분값을 계산하시오.
- $\int_{-\infty}^{\infty} \delta(x-2) e ^{-x ^2} dx$
- $\int_{-\infty}^{\infty} \delta(x-n) \sin (6\pi x) dx$ (단, $n$는 임의의 정수)
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