시리즈 | Quantum Chemistry - 8.2. 퍼텐셜 장벽 문제 문제와 양자 터널링

​지난 시간에는 양자 입자가 무한대로 치솟은 벽에 갇혀서 존재하는 상자 속 입자 문제에 관해 알아보았다. 무한 퍼텐셜 우물에서 파동함수는 특정 범위 안에서 sin함수의 형태로 존재했었고, 그 범위 밖에서는 파동함수가 0으로 입자가 발견될 확률이 0이었다.

그러면, 벽의 두께와 높이가 유한하면 어떻게 될까? 이와 같이 입자가 유한한 퍼텐셜 벽으로 입사되는 상황을 퍼텐셜 장벽 문제라고 한다. 이와 비슷한 고전역학의 상황에서는 입자가 벽을 맞고 튕겨나오지만, 양자 입자의 경우에는 벽 너머에서도 파동함수가 존재해 입자가 벽 뒤에 존재할 확률이 있다!

이와 같이 양자 입자가 에너지 장벽보다 낮은 에너지를 가지고도 장벽을 통과하여 그 너머에서 입자가 관측되는 현상을 양자 터널링이라고 한다. 그럼 어떻게 이런 직관으로는 절대로 이해가 되지 않는 결과가 나오는지 알아보자.

퍼텐셜 장벽 문제의 퍼텐셜 분포

퍼텐셜 장벽 문제란 퍼텐셜 분포에 유한한 두께와 높이의 벽이 있는 상황을 의미한다. 다시 말하면, 퍼텐셜 장벽 문제란 퍼텐셜 분포가 다음과 같은 상황을 말한다.

$$U(x) = \left\{\begin{matrix}
U & (-a \leq x \leq a) \\
0 & (x > a, x < -a) \\
\end{matrix}\right.$$

대충, 그림으로 다시 표현해보면 다음과 같이 유한한 두께와 높이의 벽을 향해 양자 입자가 입사되는 상황으로 생각해볼 수 있다.

퍼텐셜 장벽 문제의 경우에는 입자의 에너지가 퍼텐셜 벽의 퍼텐셜 에너지보다 큰 산란 상태와, 입자의 에너지가 퍼텐셜 벽의 퍼텐셜 에너지보다 낮아 터널링이 일어나는 경우로 나누어진다. 이 중, 장벽 위 산란은 고전역학적으로도 입자가 벽을 넘어갈 수 있어 양자화학 시리즈에서 굳이 다루는 이유가 없으므로, 이 글에서는 양자역학 특유의 현상인 터널링이 나타나는 경우만 살펴보자.

그리고, 계산의 편의성을 위해, 입자는 퍼텐셜 장벽의 왼쪽에서 오른쪽 방향(x: $-\infty \rightarrow \infty$)으로 입사된다고 가정하자. 즉, 입자는 장벽에 부딪힌 뒤 일부는 반사되고, 일부는 장벽을 터널링하여 반대편으로 투과되는 상황을 생각할 것이다.

퍼텐셜 장벽 문제의 파동함수

자, 그럼 퍼텐셜 장벽 문제의 파동함수를 구해보자. 일단, 시간 비의존 슈뢰딩거 방정식의 일반적인 형태는 다음과 같다.

$$E \psi = -\frac{\hbar ^ 2}{2m} \frac{\partial ^2}{\partial x^2}\psi + U\psi$$

편의성을 위해, 퍼텐셜 장벽 기준으로 $x \le -a$와 $x \ge a$ (퍼텐셜 장벽 밖), $-a \le x \le a$ (퍼텐셜 장벽 안) 로 범위를 나누어 생각하자.

퍼텐셜 장벽 밖에서의 파동함수

일단 퍼텐셜 장벽 밖 범위 중 $x \le -a$의 경우부터 파동함수를 구해보자! 이 경우, 퍼텐셜은 0이므로, 이 범위 내에서 시간 비의존 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같다.

$$E \psi = -\frac{\hbar ^ 2}{2m} \frac{\partial ^2}{\partial x^2}\psi$$

오! 앞 8.1편 상자속 입자 글 중 우물 안에서의 경우와 식이 매우 비슷하다. 비슷하게, $\frac{\partial ^2}{\partial x^2} \psi$에 곱해진 항을 좌변으로 넘기고, 양수인 $\frac{2mE}{\hbar ^ 2}$를 $k ^2$로 치환해주자.

$$\frac{\partial ^2}{\partial x^2}\psi = -\frac{2mE}{\hbar ^ 2} \psi := - k ^2 \psi$$

$$\frac{\partial ^2}{\partial x^2}\psi = - k ^2 \psi = (\pm ik)^2 \psi$$

여기서 파동함수는 두 번 미분했을 때 자신의 상수배가 나오고 있으므로, 파동함수의 일반해를 지수함수 $e^{+ikx}$, $e^{-ikx}$의 선형결합으로 나타내주자. 그리고, 오일러 공식($e^{i \theta } = {\rm cos} \theta + i {\rm sin} \theta $)을 써주자.

$$\psi = Ae^{+ikx} + Be^{-ikx} $$

따라서, $x \le -a$의 범위에서 파동함수의 형태는 다음과 같다.

$$\psi = Ae^{+ikx} + Be^{-ikx} $$

그 다음으로, $x \ge a$의 경우부터 파동함수를 구해보자! 이 경우에도 퍼텐셜은 0이고, 입자의 에너지가 $E$ 이므로, 이 범위 내에서 시간 비의존 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같다.

$$E \psi = -\frac{\hbar ^ 2}{2m} \frac{\partial ^2}{\partial x^2}\psi$$

잘 보면, $x \le -a$의 경우와 식이 완전히 똑같음을 알 수 있다. 따라서, $x \le -a$의 범위에서 파동함수의 형태는 다음과 같음을 쉽게 구할 수 있다. (단, $F$, $G$는 상수)

$$\psi = F e^{+ikx} + G e^{-ikx} $$

여기서, $G e^{-ikx}$ 항은 시간항을 붙여보면 $G e^{-ikx-iwt} = G e^{-i(kx+wt)}$ 가 되어 x가 $\infty$에서 $a$까지 왼쪽으로 진행하는 파동이 된다. 하지만, 우리는 입자가 퍼텐셜 장벽의 왼쪽에서 오른쪽 방향으로 입사하는 상황만 고려하고 있다. 즉, 오른쪽에서 새롭게 입사되는 파동은 존재하지 않는다. 따라서 $G e^{-ikx}$ 항은 물리적으로 허용되지 않으며, 따라서 $G=0$이 된다. 따라서, 결국 $x \le -a$의 범위에서 파동함수의 형태는 다음과 같다.

$$\psi = F e^{+ikx} $$

퍼텐셜 장벽 안에서의 파동함수

이제, 퍼텐셜 장벽이 있는 구간인 $-a \le x \le a$ 범위의 파동함수를 구해보자. 이 경우, 퍼텐셜은 U이므로, 이 범위 내에서 시간 비의존 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같다.

$$E \psi = -\frac{\hbar ^ 2}{2m} \frac{\partial ^2}{\partial x^2}\psi + U\psi$$

$U\psi$ 항을 좌변으로 넘겨주자.

$$E \psi - U\psi = -\frac{\hbar ^ 2}{2m} \frac{\partial ^2}{\partial x^2}\psi$$

양변에 -1을 곱하고, 좌변을 $\psi$로 묶어주자.

$$(U-E)\psi = \frac{\hbar ^ 2}{2m} \frac{\partial ^2}{\partial x^2}\psi$$

이제, $\frac{\partial ^2}{\partial x^2} \psi$에 곱해진 항을 좌변으로 넘겨주자.

$$\frac{2m(U-E)}{\hbar ^ 2} \psi = \frac{\partial ^2}{\partial x^2}\psi$$

여기서, 퍼텐셜 장벽의 퍼텐셜 $U$는 입자의 에너지 $E$보다 크기 때문에($U-E > 0$), $\frac{2m(U-E)}{\hbar ^ 2} := l ^2$로 치환해주자.

$$\frac{\partial ^2}{\partial x^2}\psi = \frac{2m(U-E)}{\hbar ^ 2} \psi = l ^2 \psi$$

음.. 이번에 위 방정식의 특수해는 허수 항 없이 $e^{+lx}$, $e^{-lx}$ 두 종류가 있다. 따라서, 이 상황에서 파동함수의 일반해는 특수해들을 선형조합해서 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$$\psi = C e^{lx} + D e^{-lx} $$

따라서, $-a \le x \le a$의 범위에서 파동함수의 형태는 다음과 같다.

$$\psi = C e^{lx} + D e^{-lx} $$

정리해보면, 파동함수의 전체적인 형태는 다음과 같다.

$$\psi (x) = \left\{\begin{matrix}
Ae^{+ikx} + Be^{-ikx} & (x \le -a) \\
C e^{lx} + D e^{-lx} & (-a\le x \le a) \\
F e^{+ikx} + G e^{-ikx} & (x \ge a) \\
\end{matrix}\right.$$

경계 조건

이제, 각 구간별로 따로 놀고 있는 파동함수들을 하나의 파동함수로 합쳐주고, 퍼텐셜 장벽에서 가능한 에너지 준위를 구하기 위해서 행실 좋은 파동함수가 되기 위한 조건 중 연속성과 미분가능성 조건을 적용해주자.

$\Psi$와 $\frac{\partial \Psi}{\partial x}$가 구간 내의 모든 곳에서 연속인 함수이다.

지금까지 구했던 퍼텐셜 장벽 문제 중 터널링이 발생하는 상황의 파동함수 꼴은 다음과 같다.

$$\psi (x) = \left\{\begin{matrix}
Ae^{+ikx} + Be^{-ikx} & (x \le -a) \\
C e^{lx} + D e^{-lx} & (-a\le x \le a) \\
F e^{+ikx} & (x \ge a) \\
\end{matrix}\right.$$

여기서, 불연속, 미분불가능 의심점 (임계점)이 $x = -a, a$로 2개 보인다. 각 부분에 대해서 연속성과 미분가능성 식을 세우자.

먼저, x = -a에 대해서는 다음과 같다.

$$\begin{aligned}
& \lim _{x \to -a^{-}} \psi (x) = \lim _{x \to -a^{+}} \psi (x) : \;\; Ae^{-ika} + Be^{+ika} = C e^{-la} + D e^{+la} \\
& \lim _{x \to -a^{-}} \frac{\partial \psi (x)}{\partial x} = \lim _{x \to -a^{+}} \frac{\partial \psi (x)}{\partial x} : \;\; \begin{matrix} \lim _{x \to -a^{-}} (ikAe^{+ikx} -ikBe^{-ikx}) = \lim _{x \to -a^{+}} (lC e^{lx} - lD e^{-lx}) \\
\therefore ikAe^{-ika} -ikBe^{+ika} = lC e^{-la} - lD e^{+la} \end{matrix}
\end{aligned}$$

그리고, x = a에 대해서는 다음과 같다.

$$\begin{aligned}
& \lim _{x \to a^{-}} \psi (x) = \lim _{x \to a^{+}} \psi (x) : \;\; C e^{la} + D e^{-la} = F e^{+ika} , \\
& \lim _{x \to a^{-}} \frac{\partial \psi (x)}{\partial x} = \lim _{x \to a^{+}} \frac{\partial \psi (x)}{\partial x} : \;\; \begin{matrix} \lim _{x \to a^{-}} (lC e^{lx} -lD e^{-lx}) = \lim _{x \to a^{+}} (ikF e^{+ikx}) \\
\therefore lC e^{la} -lD e^{-la} = ikF e^{+ika} \end{matrix}
\end{aligned}$$

위 두 위치에 대한 경계 조건 식을 적당히 잘 풀어주면 A, B, C, D, F의 비를 구할 수 있다. 그러나, 계산 과정이 매우 복잡해서 이 글에서는 결과만 다루고, 자세한 계산 과정은 생략하겠다. (계산 과정은 Appendix B 유한 퍼텐셜 우물 글 중 비속박 상태의 계산 과정과 매우 비슷하다.)
시간이 매우 많은 독자들은 꼭 풀어보길 바란다.

$$\begin{aligned}
A &= F e^{2ika} \left[ \cosh(2la) + \frac{i(k^2-l^2)}{2kl}\sinh(2la) \right] \\
B &= \frac{iF e^{2ika}(k^2+l^2)}{2kl}\sinh(2la) \\
C &= \frac{1}{2}\left(1+\frac{ik}{l}\right)Fe^{ika-la} \\
D &= \frac{1}{2}\left(1-\frac{ik}{l}\right)Fe^{ika+la} \\
F &= F
\end{aligned}$$

퍼텐셜 장벽 문제의 투과 계수와 반사 계수

이제, 왼쪽에서 입사된 입자의 물질파 중 퍼텐셜 장벽을 뚫고 계속 오른쪽으로 진행하는 비율인 투과 계수($T$)와, 퍼텐셜 장벽에 의해 입사된 방향으로 다시 튕겨저나갈 비율인 반사 계수($R$)를 구해보자.

$$T = \frac{\text{투과한 입자의 수}}{\text{입사된 입자의 수}}, \, R = \frac{\text{반사된 입자의 수}}{\text{입사된 입자의 수}}$$

파동함수의 확률 진폭 해석에 따라 투과 계수와 반사 계수는 다음과 같이 투과파와 반사파의 진폭의 절댓값 제곱을 활용하여 구할 수 있다. (여기서는 퍼텐셜 벽 왼쪽과 오른쪽에서 퍼텐셜이 0으로 동일하므로, 파동의 파수가 같아 추가적인 보정 없이 위 식이 그대로 성립한다. 만일 파수가 다르다면 그 위치에서의 입자의 속력을 확률 진폭 옆에 곱해줘야한다.)

$$T = \frac{|F| ^{2}}{|A| ^{2}}, \, R = \frac{|B| ^{2}}{|A| ^{2}}$$

이제, 위에서 구한 각 계수별 관계식을 대입해주자.

$$\begin{aligned}
T &= \frac{|F| ^{2}}{|A| ^{2}} \\
&= \frac{|F| ^{2}}{|F| ^{2} (\cosh ^2 (2la) + (\frac{(k^2-l^2)}{2kl}\sinh(2la)) ^2)} \\
&= \frac{1}{\cosh ^2 (2la) + (\frac{k^2-l^2}{2kl})^2 \sinh^2 (2la)}
\end{aligned}$$

$$\begin{aligned}
R &= \frac{|B| ^{2}}{|A| ^{2}} \\
&= \frac{|F| ^2 (\frac{k^2+l^2}{2kl} \sinh (2la))^2}{|F| ^{2} (\cosh ^2 (2la) + (\frac{(k^2-l^2)}{2kl}\sinh(2la)) )^2} \\
&= \frac{(\frac{k^2+l^2}{2kl}) ^2 \sinh^2 (2la)}{\cosh ^2 (2la) + (\frac{k^2-l^2}{2kl})^2 \sinh^2 (2la)} \\
&= T (\frac{k^2+l^2}{2kl}) ^2 \sinh^2 (2la)
\end{aligned}$$

음.. 여기서 투과율과 반사율을 더해보자.

$$\begin{aligned}
T + R &= T(1+\frac{k^2+l^2}{2kl}) ^2 \sinh^2 (2la)) \\
& = T(\cosh^2 (2la) - \sinh^2 (2la) +(\frac{k^2+l^2}{2kl}) ^2 \sinh^2 (2la)) \\
&= T(\cosh^2 (2la) +(\frac{k^2+l^2}{2kl}) ^2 - 1) \sinh^2 (2la)) \\
&= T(\cosh^2 (2la) +\frac{k^4 + 2k^2 l^2+ l^4}{4 k^2 l^2} - 1) \sinh^2 (2la)) \\
&= T(\cosh^2 (2la) +\frac{k^4 - 2k^2 l^2+ l^4}{4 k^2 l^2}) \sinh^2 (2la) \\
&= T(\cosh^2 (2la) +(\frac{k^2 - l^2}{2kl}) ^2) \sinh^2 (2la)) \\
&= \frac{\cosh^2 (2la) +(\frac{k^2 - l^2}{2kl}) ^2 \sinh^2 (2la)}{\cosh ^2 (2la) + (\frac{k^2-l^2}{2kl})^2 \sinh^2 (2la)} \\
&= 1
\end{aligned}$$

오! 투과율과 반사율의 합이 1이다. 이는 입자가 반사되거나 투과되는 확률의 합이 1이라는, "확률 보존 법칙"에 해당한다.

양자 터널링과 양자 터널링의 활용

그럼, 이 상황이 왜 터널링을 나타내는것일까? 퍼텐셜 장벽 문제의 고전역학 버전인 벽에 물체를 던지는 상황과 비교해보자.

고전역학에서는 벽에 물체를 던진다면 당연하게 벽과 충돌하여 모두 튕겨져나온다. 따라서, 벽 방향으로 입사된 물체의 수와는 상관없이 벽을 뚫고 나가는 물체의 수가 0이기 때문에, 투과율 $T = 0$이다.

하지만, 앞에서 구했던 투과율 식을 다시 한번 더 살펴보면, 양자역학에서는 좀 다르다는 것을 알 수 있다.

$$\begin{aligned}
T = \frac{|F| ^{2}}{|A| ^{2}} = \frac{1}{\cosh ^2 (2la) + (\frac{k^2-l^2}{2kl})^2 \sinh^2 (2la)}
\end{aligned}$$

잘 보면, 투과율 $T$가 0보다 크다! 다시 말하면, 양자역학은 왼쪽에서 입사된 입자가 벽을 뚫고(!!!) 오른쪽에서 발견될 수도 있다는 것이다. 실제로, 앞에서 구했던 파동함수의 그래프를 그려보면 다음과 같이 벽 넘어서도 파동함수가 0이 아니여서 양자 입자가 존재할 확률을 가진다는 것을 알 수 있다.

이와 같이 양자 입자가 에너지 장벽보다 낮은 에너지를 가지고도 장벽을 통과하여 그 너머에서 입자가 관측되는 현상을 양자 터널링이라고 한다.

그런데, 과연 이렇게 수식적이고 이론적으로만 보이는 양자 터널링이 과연 우리 삶에서 어떤 의미가 있을까? 바로 "전자"와 같은 미시계와 상호작용하는 여러 첨단 기기들에서 활용된다!

실제로, 주사 터널링 현미경(STM)이라는 매우 비싸고 해상도가 좋은 현미경에 터널링 현상이 활용된다. 주사 터널링 현미경은 물질 표면에 전자를 쏘아대서 "원자 단위" 결정 구조 등을 분석하는데 쓰이는 현미경이다. 여기서 전자를 쏘아대는 전자총 끝부분과 물질 사이의 틈은 일종의 "퍼텐셜 장벽"으로 작용한다. 그래서, 고전역학적으로 보았을 때에는 전자가 물질의 표면으로 도달하지 못하지만, 터널링 현상 때문에 이 "퍼텐셜 장벽"으로서의 틈을 뚫고 표면으로 도달하는 것이다.

첨언: 퍼텐셜 장벽 문제와 힐베르트 공간

앞에서 보았듯이, 퍼텐셜 장벽 문제 중 터널링이 일어나는 상황에서 파동함수는 다음과 같다.

$$\psi (x) = \left\{\begin{matrix}
Ae^{+ikx} + Be^{-ikx} & (x \le -a) \\
C e^{lx} + D e^{-lx} & (-a\le x \le a) \\
F e^{+ikx} & (x \ge a) \\
\end{matrix}\right.$$

그런데, 잘 보면, 이 파동함수는 $x \le -a$, $x \ge a$ 구간에서 sin함수의 형태로 무한히 뻗어나가기 때문에, 실수 전체 구간에서 절댓값 제곱의 적분값이 존재하지 않는다!

$$\int _{-\infty} ^{\infty} | \psi (x) | ^2 dx =\infty$$

즉, 퍼텐셜 장벽 문제의 파동함수는 행실 좋은 파동함수가 아니며, 일반적인 행실이 좋은 파동함수가 속한 힐베르트 공간인 $L^2$ 공간의 원소가 아니다!

이와 같이, 자유입자나 퍼텐셜 장벽 문제의 에너지 고유상태는 수학적으로는 다소 “이상적인 상태”에 가깝다. 실제 물리계에서 입자는 공간 전체에 완전히 균일하게 퍼져 있는 평면파 상태로 존재하기보다는, 5.1편 하이젠베르크의 불확정성 원리 글에서 살펴본 것과 같이 여러 운동량 상태가 중첩된 파군(wave packet)의 형태로 존재한다. 이러한 파동묶음은 공간적으로 국소화되어 있으며, $\int _{-\infty} ^{\infty} | \psi (x) | ^2 dx <\infty$을 만족해 $L^2$ 공간의 원소이다.

그렇다면 왜 물리학에서는 굳이 정규화조차 되지 않는 평면파를 사용하는 것일까? 그 이유는 평면파가 자유입자 문제의 해밀토니안 연산자의 고유상태이며, 복잡한 파동함수를 전개하는 데 매우 편리한 “기저”와 비슷한 역할을 하기 때문이다. (평면파 파동함수가 $L ^2$공간의 원소가 아니므로 실제 기저는 아니다.) 이는 선형대수학에서 벡터를 기저벡터들의 선형결합으로 표현하는 것과 유사하다.

즉, 정규화되지 않는 평면파 자체가 직접적인 물리 상태라기보다는, 실제 물리 상태를 구성하기 위한 이상적인 수학적 도구로 사용된다고 이해할 수 있다.

(실제로, 물리학에서는 이와 같은 "이상적인 상태"들을 표현하는 파동함수들을 담기 위해 $L ^2$ 공간보다 더 큰 집합으로 Rigged Hilbert Space라는 더 확장된 벡터 공간을 정의하기도 한다.)

참고 문헌

• Atkins, P. W., de Paula, J., & Keeler, J., Atkins’ Physical Chemistry, 8th ed., Oxford University Press, 2018.
• Beiser, A. (2003). Concepts of modern physics (6th ed.). McGraw-Hill.
• Serway, R. A., & Jewett, J. W. (2018). Physics for scientists and engineers (10th ed.). Cengage Learning.
• Griffiths, D. J., & Schroeter, D. F. (2018). Introduction to quantum mechanics (3rd ed.). Cambridge University Press.

연습문제

퍼텐셜 장벽 문제와 터널링 연습문제입니다. (이번에도 문제가 많이 까다롭습니다. 화이팅!!)

1. 이번에는 퍼텐셜 장벽 문제 중 산란 상태의 파동함수를 구해보자. 퍼텐셜 분포가 다음과 같은 상황에서 에너지가 E인 입자가 왼쪽에서 오른쪽 방향으로(x좌표가 $-\infty$부터 $\infty$로 변하는 방향) 입사될 때, 물음에 답하시오.
   $$U(x) = \left\{\begin{matrix}
   \frac{8}{9}E & (-a \leq x \leq a) \\
   0 & (x > a, x < -a) \\
   \end{matrix}\right.$$
   1. 양자 입자의 파동함수를 $E$, $a$, $x$에 대한 식으로 구하시오.
   2. $x < -a$인 영역에서 입사된 입자가 $x >a$인 영역으로 투과할 확률을 나타내는 투과 계수 T를 $E$, $a$, $x$에 대한 식으로 구하시오.
   3. 투과 계수 T = 1이기 위한 $a$의 조건을 구하시오. 그리고, 그 결과가 두께가 $2a$이고 진공에 대한 굴절률이 3인 박막 간섭 문제에서 도출되는 완전 투과 조건과 일치함을 확인하시오.

2. 에너지가 E인 입자가 퍼텐셜 분포가 다음과 같은 "퍼텐셜 계단"에 왼쪽에서 오른쪽 방향으로(x좌표가 $-\infty$부터 $\infty$로 변하는 방향) 입사될 때, 물음에 답하시오.
   $$U(x) = \left\{\begin{matrix}
   0 & (x < 0) \\
   \frac{3}{4}E & (x \ge 0) \\
   \end{matrix}\right.$$

1. 양자 입자의 파동함수를 $E$, $x$에 대한 식으로 구하시오.
2. 입자의 확률밀도함수($| \psi |^2$)의 그래프를 그리시오.
3. $x < 0$인 영역에서 입사된 입자가 $x \ge 0$인 영역으로 투과할 확률을 나타내는 투과 계수 T를 $E$, $x$에 대한 식으로 구하시오.