양자역학 여섯 줄 요약좀요;
지금까지 우리는 양자역학을 수학의 언어로 표현하고, 이를 통해 양자역학의 핵심 원리를 설명하는 방식에 관해 알아보았다. 필자 같은 경우에는 양자역학이라는 매우 추상적인 학문이 수학의 언어를 만나서 점점 구체화되어가는 과정이 매우 흥미로웠다.
물리학자들은 이 수학의 언어로 설명한 원리들을 하나로 정리하기 위해 끊임없는 고민을 하였다. 그 결과, 군더더기를 모두 가지치기하고 정리한 결과 양자역학을 지탱하는 6가지 핵심 원리인 양자역학의 공리를 설립하였다.
고전역학에서 위치, 시간이라는 물리량을 정의하고 이와 관련해 뉴턴의 운동 법칙 3개가 물체의 운동을 기술하는 핵심 기틀이 되는것처럼, 양자역학의 모든 원리와 정리들은 양자역학의 공리 6가지를 기반으로 유도된다. 자, 그러면 이번 글에서는 이전에 배운 내용을 정리하는 시간 겸 해서 양자역학의 공리에 관하여 알아보자.
양자역학의 공리
양자역학에는 총 6개의 공리가 있다.
- 파동함수와 양자 상태: 양자 입자의 물리적인 상태는 (위치) 파동함수 $\psi (x)$에 의해 기술된다. (위치) 파동함수 $\psi (x)$를 운동량 파동함수 등 여러 물리량별 파동함수와 함께 $L ^2$ 공간의 벡터로 추상화한 것이 양자 상태 $\ket{\psi}$이다.
- 관측가능량: 모든 관측가능량은 Hermitian 연산자에 대응된다.
- 중첩의 원리와 양자 중첩: 양자 상태들의 선형 결합은 또 다른 하나의 양자 상태가 된다. 또한, Hermitian 연산자의 고유 상태들은 완비성을 이루므로, 모든 $L ^2$ 공간 내의 양자 상태는 Hermitian 연산자의 고유 상태들의 선형 결합으로 표현할 수 있다.
- 측정: Hermitian 연산자에 대응하는 물리량을 측정하면 양자 상태는 대응하는 고유상태 중 하나로 붕괴하며, 그 고유상태에 대응하는 고윳값이 측정된다.
- 확률 진폭: 중첩된 양자 상태를 다음과 같이 Hermitian 연산자의 고유 상태들의 선형 결합으로 나타낼 때, $c_n$는 $\ket{\psi _n}$에 대한 확률 진폭의 의미를 가진다. (즉, $|c _n| ^2$은 측정 시 $\ket{\psi _n}$의 고윳값이 관측될 확률이다.)
$$\ket{\Psi} = \sum _n c _n \ket{\psi _n}$$ - 슈뢰딩거 방정식: 양자 상태의 시간 발전은 슈뢰딩거 방정식에 의해 기술된다.
참고 자료
- Atkins, P. W., de Paula, J., & Keeler, J., Atkins’ Physical Chemistry, 8th ed., Oxford University Press, 2018.
- McQuarrie, D. A., & Simon, J. D., Quantum Chemistry (2nd ed.). University Science Books, 1997.
- Griffiths, D. J., & Schroeter, D. F. (2018). Introduction to quantum mechanics (3rd ed.). Cambridge University Press.
- 한양대학교 OCW - 7. 양자역학의 여섯 공리 (https://www.youtube.com/watch?v=8LexNpmS4wo)
Chapter 2를 마무리하면서...
앞 여섯 글 동안 우리는 양자역학을 수학의 언어로 표현하고, 이를 통해 양자역학의 핵심 원리를 설명하는 방식에 관해 알아보았다. 흥미진진해했던 독자도 있었을 것이고, 수식의 늪에서 헤어나오느라 큰 고생을 치렀던 독자도 있었을 것이다.
이로써 우리는 뇌에 양자역학적 사고방식을 탑재했다. 고전역학에서는 절대로 있을 수 없는 양자 중첩이라는 기묘한 현상부터, 한 양자 계에 관련된 모든 파동함수를 싸그리 모아서 추상화한 양자 상태라는 어려운 개념 등등 말이다.
이렇게 열심히 양자역학을 배워보면 이런 생각이 저절로 든다.
그래서 이딴 괴랄한 수식덩어리 양자역학을 얻다 써먹을건데
다음 Chapter 3에서는 이 의문을 싹 해소해줄 내용을 배운다. 직접 양자 입자의 거동과 관련된 여러 문제에 적용해 보면서 말이다. 이 챕터에서는, 일반적으로 입자가 할 수 있는 운동의 종류인 병진 운동, 회전 운동, 진동 운동을 양자 입자에 적용한 무한 퍼텐셜 우물/터널링 현상, 고리 위 입자, 조화 진동자를 순서대로 다뤄볼 것이다. 또한, 매우 복잡해서 직접 문제에 완벽하게 맞는 파동함수를 구하기 어려운 경우 적용할 수 있는 근사적 방법에 관해서 알아본다.
다행히도, Chapter 3의 내용은 지금까지 다룬 (문제의?) Chapter 2 내용보다는 덜 추상적이라서 이해하기 훨 편할 것이다. 자, 그러면 양자역학의 '진짜 쓸모'에 관해 탐구해볼 준비를 하고, 다음 글로 과감히 넘어가보자.
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