사원수(Quaternion)란 무엇인가?

우리는 흔히 수 체계를 복소수까지로 알고 있다. 그런데 이보다 더 큰 수 체계가 있다는 것을 아는가? 실수에서 복소수로 확장될 때 '음수의 제곱근'이라는 개념을 받아들였듯이, 교환법칙을 포기함으로써 복소수에서 사원수로 확장될 수 있다. 그렇다면 이 사원수가 무엇인지 알아보도록 하자.

사원수의 발견

19세기 수학자들은 복소수를 이용해 2차원 평면에서의 회전을 나타낼 수 있었으나, 3차원 공간으로 확장하는 데 어려움을 겪었다. 아일랜드 수학자 윌리엄 로원 해밀턴(William Rowan Hamilton)은 이런 3차원 공간에서의 회전을 나타내기 위해 고민하던 수학자들 중 하나이다. 3차원 공간에서의 정점은 3개의 수로 이루어지며, 해밀턴은 그 3개의 수들을 어떻게 더하고 곱할 수 있는지에 관해 생각해 왔다. 그러나 그는 두 정점 간의 나누기를 어떻게 정의할지 알지 못했고, 난관에 부딪혔다.

그러다 1843년 10월 16일에 해밀턴이 더블린의 로열 운하를 걷던 중, 4개의 성분을 통해 3차원을 표현할 수 있다는 것을 깨닫는다. 그리고 그는 이렇게 발견한 수 체계의 기본 규칙을 다리에 새겨 놓았고, 그 공식이 바로 썸네일에도 나와 있는 $i^2=j ^2=k ^2=ijk=-1$라고 알려져 있다.

사원수의 정의

사원수 $q$는 다음과 같이 정의된다.

$$q=a+bi+cj+dk \quad(a,b,c,d\in\mathbb{R})$$

이때 $i,j,k$는 다음 규칙을 만족하는 서로 다른 허수 단위이다.

$$i^2=j ^2=k ^2=ijk=-1$$$$\begin{aligned}
ij &= k,\ & ji &= -k \\
jk &= i,\ & kj &= -i \\
ki &= j,\ & ik &= -j\\
\end{aligned}$$

특이하게도 $ij = k,\ ji = -k$에서 볼 수 있듯이, 사원수는 곱셈에서의 교환법칙이 성립하지 않는다. 다시 말해서 사원수 체계는 비가환환에 해당된다고 볼 수 있다.

사원수의 연산

다음으로는 사원수 간의 사칙연산을 살펴보자. 덧셈과 뺄셈의 경우에서 각 성분별로 나누어서 연산할 수 있다.

$$\begin{aligned}&(a_1+b_1i+c_1j+d_1k)+(a_2+b_2i+c_2j+d_2k)\\
&\ =(a_1+a_2)+(b_1+b_2)i+(c_1+c_2)j+(d_1+d_2)k\end{aligned}\\$$$$\begin{aligned}&(a_1+b_1i+c_1j+d_1k)-(a_2+b_2i+c_2j+d_2k)\\
&\ =(a_1-a_2)+(b_1-b_2)i+(c_1-c_2)j+(d_1-d_2)k\end{aligned}$$

곱셈은 분배법칙을 적용하여 계산할 수 있다.

$$
\begin{aligned}
(a_1+b_1i+c_1j+d_1k)(a_2+b_2i+c_2&j+d_2k) \\\begin{alignedat}{4}
&= a_1a_2 &&+ a_1b_2i &&+ a_1c_2j &&+ a_1d_2k \\
&+ b_1a_2i &&+ b_1b_2i^2 &&+ b_1c_2ij &&+ b_1d_2ik \\
&+ c_1a_2j &&+ c_1b_2ji &&+ c_1c_2j^2 &&+ c_1d_2jk \\
&+ d_1a_2k &&+ d_1b_2ki &&+ d_1c_2kj &&+ d_1d_2k^2
\end{alignedat}\end{aligned}
$$

여기서, 앞서 정의된 허수 단위 간의 공식들을 적용시키면 최종적으로 다음과 같은 결과가 나옴을 알 수 있다.

$$
\begin{alignedat}{4}
&\quad (a_1a_2 &&- b_1b_2 &&-c_1c_2 &&- d_1d_2) \\
&+(a_1b_2 &&+ b_1a_2 &&+ c_1d_2 &&- d_1c_2)i\\
&+(a_1c_2 &&-b_1d_2 &&+c_1a_2 &&+ d_1b_2)j\\
&+(a_1d_2 &&+ b_1c_2 &&- c_1b_2 &&+ d_1a_2)k
\end{alignedat}
$$

그렇다면 나눗셈은 어떻게 계산해야 할까? 나누고자 하는 사원수의 역수를 곱해주는 방식으로 계산할 수 있을 것이다. 그리고 그 역수는 복소수의 나눗셈에서 분모에 켤레복소수를 곱해주듯이, 사원수도 비슷하게 켤레 사원수를 곱해주는 방식을 시도해 볼 수 있다.

$q=a+bi+cj+dk$의 켤레 사원수를 $q*=a-bi-cj-dk$로 정의하고, 그 곱을 계산해보자. ( $ij+ji=0,jk+kj=0,ik+ki=0$ 임에 유의한다.)

$$\begin{aligned}
qq*&=(a+bi+cj+dk)(a-bi-cj-dk)\\
&=a^2-(bi+cj+dk) ^2\\
&=a^2-((b ^2i ^2+bcij+bdik)+(cbji+c ^2j ^2+cdjk)+(dbki+dckj+d ^2 k ^2))\\
&=a^2+b ^2+c ^2+d ^2
\end{aligned}$$

그러면 신기하게도 사원수와 그 켤레의 곱이 복소수도 아니고 실수가 나오는데, 이 값은 $q$의 노름의 제곱과도 같음을 알 수 있다.(노름은 원점에서의 거리라고 생각하면 쉽다. 기호로는 $\|q\|$로 나타낸다.) 이를 이용해 사원수의 역수를 계산할 수 있고, 나눗셈 또한 쉽게 계산할 수 있다.

$$\begin{aligned}
\frac{1}{q}&=\frac{1}{a+bi+cj+dk}\\\\
&=\frac{a-bi-cj-dk}{(a+bi+cj+dk)(a-bi-cj-dk)}\\\\
&=\frac{a-bi-cj-dk}{a^2+b ^2+c ^2+d ^2}\\\\
&=\frac{q*}{\|q\|^2}
\end{aligned}$$

지금까지 이 글에 사원수의 단순 연산에 대해서만 다루었는데, 나중에 시간이 있다면 왜 삼원수는 안되는지, 사원수를 이용해 어떻게 3D 회전을 다루는지 등등 더 많은 내용을 다루려고 한다.