시리즈 | FA - 8. 푸리에 급수의 평균제곱수렴성

FA-2 글에서 어떤 구간에서 정의된 리만적분 가능한 함수들이 내적공간을 이룬다는 것을 얘기하며 평균제곱수렴을 언급했습니다.

그래서 오늘은 드디어 [STEIN 푸리에 해석학] 에서 소개된 푸리에급수의 평균제곱수렴성의 증명을 봅시다.

푸리에 급수가 "평균제곱수렴" 하는 것은 위에서와 같이 두 함수의 차이의 제곱을 적분했을 때 0인 것으로, 두 함수의 정의역에서 매우 적은 양의 점들에서만 함숫값이 다르다는 것을 의미합니다.

또한

$$( f,g )=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}f(x)\overline{g(x)}dx$$

\( [0,2\pi] \)에서 정의된 함수들의 집합 \(\mathcal{R}\)에서 정의된 내적은 위와 같았습니다. 그리고 내적이 저렇게 정의됨에 따라 함수의 노름은

$$\| f \| = \sqrt{\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}|f(x)|^2dx}$$

입니다. 따라서 푸리에 급수가 "평균제곱수렴" 한다 함은

$$ \| f-S_N(f) \|^2 = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}|f(x)-S_N(f)(x)|^2dx \to 0$$

으로 푸리에 급수와 원래 함수 사이의 거리가 0이라는 것으로, 저 내적공간에서는 같은 함수라는 것으로 생각할 수 있습니다.

일단 내적공간을 만들면서 생기는 성질들을 봅시다.

정리를 증명하는데 쓰일 보조정리는 다음과 같습니다.

증명은 피타고라스 정리에 의해 매우 쉽게 됩니다.

\(b_n=a_n-c_n\)으로 두면\(f(x)-S_N(f)(x)\)과 \(\sum_{|n|\leq N}b_ne^{inx}\)은 직교해서 다음이 성립합니다.

$$\|f(x)-S_N(f)(x)\|^2+\|\sum_{|n|\leq N}b_ne^{inx}\|^2=\|f(x)-\sum_{|n|\leq N}c_ne^{inx}\|^2$$

위 등식으로 보조정리가 증명됐습니다.

이 보조정리의 증명은 함수를 계단함수로 근사한 후, 그 계단함수를 연속함수로 근사하는 것으로 조건을 만족하는 연속함수를 만드는 것으로 합니다.

일단 리만적분 가능성의 조건으로 함수를 계단함수로 근사할 수 있습니다. 리만적분 가능한 함수에 대해서 얘기하는 것이니 다르부 적분의 정의로 생각했을 때 상합과 하합의 차이가 임의로 작게하는 분할이 존재합니다.

상합과 하합의 차이가 \(\epsilon\)보다 작을 때 존재한다는 분할을 다음과 같이 나타냅시다.

$$[0,2\pi] \rightarrow [0,x_1]\cup[x_1,x_2]\cup \cdots \cup [ x_{N-1},2\pi]$$

$$P=\{x_0,x_1,\cdots,x_N\}$$

아래에 있는 상합을 계산할 때의 각 구간에서의 sup값을 취하는 계단함수로 원래의 함수를 근사합시다.

$$\bar{f}(x)= \sup_{x\in[x_k,x_{k+1}]}f(x) \, \, \, (x\in[x_k,x_{k+1}] \text{일 때})$$

그러면 적분값은 상합과 하합 사이이니,

$$\int_0^{2\pi}|\bar{f}(x)-f(x)|dx<\int_0^{2\pi}(\bar{f}(x)-f(x))dx<\epsilon$$

입니다. \(\bar{f}(x)\)의 불연속인 \(x_n\)점들을 중심으로 양 옆으로 미소하게 \(\delta\)만큼만 지우고 양 끝점을 일차함수로 이은 함수를 연속함수 \(g\)라 합시다, 불연속 점들이 N개 있다고 하고 \(f\)가 B로 유계라고 하면 두 함수의 차이가

$$\int_0^{2\pi}|\bar{f}(x)-g(x)|dx \leq 2\delta BN$$

이 돼서 \(\delta\) 가 충분히 작으면

$$\int_0^{2\pi}|\bar{f}(x)-g(x)|dx < \epsilon$$

따라서 삼각부등식으로

$$\int_0^{2\pi}|f(x)-g(x)|dx\leq \int_0^{2\pi}|f(x)-\bar{f}(x)|dx + \int_0^{2\pi}|\bar{f}(x)-g(x)|dx<2\epsilon$$

증명완료!

Lemma2는 사실 실함수에 대한 내용이었지만,

$$f(x)=\text{Re}(f(x))+i\text{Im}(f(x))$$

로 두면 치역에 복소수가 있어도 그냥 Lemma2로 \(\text{Re}(f(x)),\text{Im}(f(x))\)가 각각 근사가 되어 Lemma2가 복소수가 튀어나오는 함수에 대해서도 성립함을 알 수 있습니다.

이를 이용하면 어떤 적분가능한 함수 \(f\)와의 거리가 임의로 작은 연속함수 \(g\)가 존재한다는 것을 알 수 있습니다. (\(f,g\)둘 다 \(B\)로 바운드 됨)

$$\|f(x)-g(x)\|=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}|f(x)-g(x)|^2dx=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}|f(x)-g(x)||f(x)-g(x)|dx$$

$$\leq\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}2B|f(x)-g(x)|dx< C\epsilon$$

따라서 위 사실들을 조합하면 평균제곱수렴성의 증명이 완료됩니다. \(f\)를 연속함수\(g\)로 근사하고, \(g\)는 연속함수이니 페예르의 정리로 근사합시다. (밑에 \(P(x)\)는 페예르 정리의 결과인 연속함수를 균등하게 근사하는 삼각다항식)

\begin{equation*}
\begin{split}
\|f(x)-S_N(f)(x)\|&\leq\|f(x)-P(x)\| \, \, \, \text{by Lemma1} \\ \\
&\leq\|f(x)-g(x)\|+\|g(x)-P(x)\| \, \, \, \text{by 삼각부등식}\\ \\
&<\epsilon \, \, \, \text{by Lemma2와 페예르의 정리}
\end{split}
\end{equation*}

증명 끝!

평균제곱수렴으로 나오는 따름정리들을 봅시다.

피타고라스 정리로

$$\|f(x)-S_N(f)(x)\|^2+\|\sum_{|n|\leq N}a_ne^{inx}\|^2=\|f(x)\|^2$$

가 성립함을 알 수 있습니다. 따라서 \(n \to \infty\)이면

$$\|\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_ne^{inx}\|^2=\|f(x)\|^2$$

파세발의 항등식을 통해서 \(f,g\)가 적분가능하기만 해도

$$(f,g)=\frac{1}{4}(\|f+g\|^2-\|f-g\|^2+i(\|f+ig\|^2-\|f-ig\|^2))=\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n \overline{b_n}$$

이 성립함을 증명할 수 있습니다.

마지막으로, \(f\)가 적분가능하면

$$\sum_{n=-\infty}^{\infty}|a_n|^2=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}|f(x)|^2 dx$$

가 성립해서, \(\sum_{n=-\infty}^{\infty}|a_n|^2\) 가 수렴한다는 사실을 통해서 nth-term test의 대우로, 아니면 그냥 급수가 수렴하는데 당연히 계수가 0으로 간다 생각해서,

이 성립함을 알 수 있습니다.