시리즈 | Quantum Chemistry - Appendix A.4. 르장드르 방정식과 버금 르장드르 방정식

이번 글에서는 구면 조화 함수를 유도할 때 나오는 버금 르장드르 방정식이라는 미분 방정식을 어떻게 푸는 지 알아보자.

$$(1 - x ^{2}) y'' -2xy' + [l(l+1) - \frac{m ^{2}}{1 - x ^{2}}]y = 0$$

일단, 버금 르장드르 방정식을 풀기 위해서는 버금 르장드르 방정식의 조상 격인 르장드르 방정식을 풀 줄 알아야한다. 실제로, 버금 르장드르 방정식의 해는 르장드르 방정식의 해로부터 도출된다.

$$(1 - x ^{2}) y'' -2xy' + l(l+1)y = 0$$

자, 그러면 복잡한 미분방정식의 세계로 푹 빠져볼 각오를 하고 넘어가보자!

무한급수의 수렴 조건

왜 갑자기 고등학교 미적분 시간에서 배운 무한급수가 나올까? 그 이유는 바로 우리가 르장드르 방정식을 풀게될 방법에 있다.

$$(1 - x ^{2}) y'' -2xy' + l(l+1)y = 0$$

딱 봐도, x와 y가 겁나 복잡하게 얽혀 있어서 우리가 옛날에 슈뢰딩거 방정식을 풀 때 사용했던 변수분리 방법으로는 풀 수 없어 보인다. 따라서, 우리는 겁나 무식해 보이긴 하지만 테일러 급수와 비슷한 방법으로 위 방정식의 해 $y$를 $x$에 관한 다항식으로 급수 전개할 것이다.

$$y = \sum ^\infty _{n = 0} a _n x ^n$$

그래서, 이 무한 급수가 수렴하는지 발산하는지에 따라 미분 방정식의 해의 존재성이 결정된다. 그래서 이 문단에서 무한 급수의 수렴 조건을 배워보는 것이다.

무한 급수의 수렴 판정법에는 여러 방법이 있다. 고등학교 미적분 시간에 배운 일반항 판정법($\lim _{n \to \infty} a _n \ne 0$이면 급수가 발산함)부터 해서, 겁나 신기한 적분 판정법까지 별별 기상천외한 방법들이 있다.

이 판정법들 중에서 우리가 이 글에서 살펴볼 무한 급수의 수렴 판정법은 바로 비 판정법(Ratio Test)이다. 비 판정법에 따르면 두 이웃한 항 사이의 비가 1보다 작은 값으로 수렴하는 경우 무한급수가 수렴하고, 1보다 큰 값으로 수렴하거나 발산한다면 무한급수가 발산하고, 1이면 수렴성을 알 수 없어 다른 판정법을 사용해야 한다.

$$\begin{aligned}
\lim _ {n \to \infty} \lvert \frac{a _{n+1}}{a _n} \rvert &= \alpha < 1 \,\,\, \Longrightarrow \,\,\, \sum ^\infty _{n = 0} a _n \text{ : 수렴} \\
\lim _ {n \to \infty} \lvert \frac{a _{n+1}}{a _n} \rvert &= \alpha > 1 \text{ or 발산} \,\,\, \Longrightarrow \,\,\, \sum ^\infty _{n = 0} a _n \text{ : 발산} \\
\lim _ {n \to \infty} \lvert \frac{a _{n+1}}{a _n} \rvert &= 1 \,\,\, \Longrightarrow \,\,\, \sum ^\infty _{n = 0} a _n \text{ : 수렴성을 알 수 없음}
\end{aligned}$$

사실 이 판정법을 증명하려면 대학교 미적분학 시간에 배우는 "엡실론-N 논법을 활용한 수열의 극한의 엄밀한 정의"를 활용해야 한다. 그래서, 지금은 증명할 수 없으므로, 일단 다음과 같이 대충 마음 속으로 받아들이도록 하자.

두 연속한 항 사이의 비가 1보다 작아지므로, 결국 급수에서 계속 더해지는 수가 작아지므로 그 급수도 수렴한다.

르장드르 방정식

자, 그럼 본격적으로 르장드르 방정식을 풀어보자!

$$(1 - x ^{2}) y'' -2xy' + l(l+1)y = 0$$

위에서 언급했던 것과 같이, x와 y가 겁나 복잡하게 얽혀 있어서 변수분리 방법으로는 풀 수 없어 보이므로 위 방정식의 해 $y$를 $x$에 관한 다항식으로 급수 전개해주자. 즉, 다음 식을 위 르장드르 방정식에 대입하자.

$$y = \sum ^\infty _{n = 0} a _n x ^n$$

대입한 결과는 다음과 같다.

$$\begin{aligned}
&(1 - x ^{2}) \frac{ d ^{2}}{dx ^{2}} (\sum ^\infty _{n = 0} a _n x ^n) -2x \frac{ d}{dx} (\sum ^\infty _{n = 0} a _n x ^n) + l(l+1)(\sum ^\infty _{n = 0} a _n x ^n) = 0 \\
&(1 - x ^{2}) (\sum ^\infty _{n = 2} n(n-1)a _n x ^{n-2}) -2x (\sum ^\infty _{n = 1} n a _n x ^{n-1}) + l(l+1) \sum ^\infty _{n = 0} a _n x ^n = 0 \\
&\sum ^\infty _{n = 2} n(n-1)a _n x ^{n-2} - \sum ^\infty _{n = 2} n(n-1)a _n x ^n -2\sum ^\infty _{n = 1} n a _n x ^{n} + l(l+1) \sum ^\infty _{n = 0} a _n x ^n = 0 \\
&\sum ^\infty _{n = 0} (n+2)(n+1)a _{n+2} x ^{n} - \sum ^\infty _{n = 0} n(n-1)a _n x ^n -2\sum ^\infty _{n = 1} n a _n x ^{n} + l(l+1) \sum ^\infty _{n = 0} a _n x ^n = 0 \\
&\sum ^\infty _{n = 0} ((n+2)(n+1)a _{n+2} - n(n-1)a _n -2n a _n + l(l+1) a _n) x ^n = 0 \\
&\sum ^\infty _{n = 0} ((n+2)(n+1)a _{n+2} - (n(n-1) + 2n - l(l+1)) a _n) x ^n = 0 \\
\end{aligned}$$

이 식은 $x$에 관한 항등식이기 때문에, 각 $x ^n$의 계수가 0이 되어야 한다. 따라서, 다음 식이 성립한다.

$$\begin{aligned}
&(n+2)(n+1)a _{n+2} - (n(n-1) + 2n - l(l+1)) a _n = 0 \\
&(n+2)(n+1)a _{n+2} = (n(n-1) + 2n - l(l+1)) a _n \\
&(n+2)(n+1)a _{n+2} = (n ^{2} +n - l(l+1)) a _n \\
&(n+2)(n+1)a _{n+2} = (l - n)(l+n+1) a _n \\
&a _{n+2} = \frac{(n-l)(n+l+1)}{(n+2)(n+1)} a _n \\
&a _{n+2} = -\frac{(l-n)(l+n+1)}{(n+2)(n+1)} a _n \\
\end{aligned}$$

즉, $a_{n+2}$ 와 $a_{n}$ 항 사이의 관계는 위와 같았던 것이다. 결국, 이 점화 관계를 활용해주면 르장드르 방정식의 해를 다음과 같이 적을 수 있다.

$$\begin{aligned}
y &= a _0 + a _ 1 x ^1 + a _2 x ^2 + a _3 x ^3 + ... \\
&= a _0 [ 1 - \frac{l(l+1)}{2!} x ^{2} + \frac{l(l+1)(l-2)(l+3)}{4!} x ^{4} - ... ] \\
&+ a _1 [ x - \frac{(l-1)(l+2)}{3!} x ^{3} + \frac{(l-1)(l+2)(l-3)(l+4)}{5!} x ^{5} - ... ]
\end{aligned}$$

이제, 비 판정법을 활용해 급수의 수렴성을 따져줘서 해의 존재성을 결정해주자. 여기서 $a_n$과 $a_{n+1}$ 사이의 관계를 모르고 $a_n$과 $a_{n+2}$의 관계만 알기 때문에, 우리는 $\lim _ {n \to \infty} \lvert \frac{a _{n+2}}{a _n} \rvert$를 살펴봐서 $a_0$, $a_1$로 묶은 부분의 수렴성을 각각 결정해주자.

$$\lim _ {n \to \infty} \lvert \frac{a _{n+2}}{a _n} \rvert = \lim _ {n \to \infty} \lvert \frac{(l-n)(l+n+1)}{(n+2)(n+1)} \rvert = x ^{2} < 1$$

음... 비 판정법에 따르면, 위 급수는 $x$가 열린 구간 $(-1, 1)$ 안의 값이면 수렴한다. 그러나, 우리가 주로 사용하는 구면 조화 함수에서는 $x$에 $\cos \theta$가 들어가므로, $x \in [-1, 1]$이라서 $x = \pm 1$일때의 수렴성도 결정해줘야 한다.

$x = \pm 1$일 때 비 판정법을 다시 써보자.

$$\lim _ {n \to \infty} \lvert \frac{a _{n+2}}{a _n} \rvert = \lim _ {n \to \infty} \lvert \frac{(l-n)(l+n+1)}{(n+2)(n+1)} \rvert = x ^{2} \Big| _{x = \pm 1} = 1$$

이런 샤갈! 비 값이 1로 수렴해버려서 비 판정법만으로는 급수의 수렴성을 따질 수 없다. 다른 판정법을 활용해 추가 검사를 진행하면 $x = \pm 1$일 때 이 해들이 발산해버린다!!!

쌰갈쌰갈쌰갈쌰갈쌰갈쌰갈쌰갈쌰갈쌰갈쌰갈쌰갈쌰갈쌰갈쌰갈 르장드르 저주할거야저주할거야

일단 진정하시고, 이 문제를 해결하기 위한 방법을 모색하자. 무한 급수가 발산한다면, 다음과 같이 생각의 전환을 해보자.

무한급수가 발산하면 항 개수 자체를 유한하게 만들면 어떨까?

실제로 르장드르 해의 급수 전개 식을 자세히 보면, l이 0이거나 짝수인 경우에는 어느 순간부터 $a_0$로 묶인 항들에 $l$, $l-2$와 같이 $l- \text{(짝수)}$ 형태의 인자가 계속 등장한다. 이때, $l- \text{(짝수)}$ 항이 등장하는 순간 해당 항이 0이 되어 쭈우욱 날아가므로, l이 0이거나 짝수일 때 $a_0$로 묶인 항의 개수가 유한해짐을 알 수 있다.

비슷하게, l이 홀수인 경우에는 어느 순간부터 $a_1$로 묶인 항들에 $l-1$, $l-3$와 같이 $l- \text{(홀수)}$ 형태의 인자가 계속 등장한다. 똑같이 $l- \text{(홀수)}$ 항이 등장하는 순간 해당 항이 0이 되어 쭈우욱 날아가므로, l이 홀수일 때 $a_1$로 묶인 항의 개수가 유한해짐을 알 수 있다.

$$\begin{aligned}
y &= a _0 [ 1 - \frac{l(l+1)}{2!} x ^{2} + \frac{l(l+1)(l-2)(l+3)}{4!} x ^{4} - ... ] \\
&+ a _1 [ x - \frac{(l-1)(l+2)}{3!} x ^{3} + \frac{(l-1)(l+2)(l-3)(l+4)}{5!} x ^{5} - ... ]
\end{aligned}$$

$a_0$, $a_1$로 묶인 부분은 각각 별개로 르장드르 방정식으로부터 유도된 점화 관계를 만족하므로, $x = \pm 1$일 때 수렴하는 부분만 쇽 빼서 르장드르 방정식의 해로 취할 수 있다.

따라서, 우리는 $x = \pm 1$일 때 수렴하는 부분을 제1종 르장드르 함수 $P _l (x)$, 발산하는 부분을 제2종 르장드르 함수 $Q _l (x)$로 정의한다. 이렇게 되면, 르장드르 방정식의 해를 급수 전개한 일반해를 다음과 같이 표현할 수 있다.

$$\begin{aligned}
y &= a _0 [ 1 - \frac{l(l+1)}{2!} x ^{2} + \frac{l(l+1)(l-2)(l+3)}{4!} x ^{4} - ... ] \\
&+ a _1 [ x - \frac{(l-1)(l+2)}{3!} x ^{3} + \frac{(l-1)(l+2)(l-3)(l+4)}{5!} x ^{5} - ... ] \\
&= c _1 P _l (x) + c _ 2 Q _l (x)
\end{aligned}$$

그 중 $x = \pm 1$일 때 수렴하는 제1종 르장드르 함수가 물리적으로 의미가 있으므로, 양자역학에서는 르장드르 방정식의 해로 $P _l (x)$를 선택한다. 또한, 물리학에서는 $P _l (x)$ 앞에 붙어있는 계수를 설정할 때, 추후 계산의 편의를 위해 $P _l (1) = 1$이 되도록 설정한다.

정리해보면, 물리학에서 쓰는 르장드르 방정식의 해는 다음과 같이 쓸 수 있다.

$$\begin{aligned}
y &= P _l (x) = \left\{\begin{matrix}
a _0 [1 - \frac{l(l+1)}{2!} x ^{2} + \frac{l(l+1)(l-2)(l+3)}{4!} x ^{4} - ...] & (l = 0 \text{ 또는 짝수}) \\
a _1 [x - \frac{(l-1)(l+2)}{3!} x ^{3} + \frac{(l-1)(l+2)(l-3)(l+4)}{5!} x ^{5} - ...] & (l \text{ 은 홀수}) \\
\end{matrix}\right. \\
&(\text{단, } a_0, a _1 \text{은 }P _l (1) = 1\text{을 만족하는 실수})
\end{aligned}$$

Rodrigues 공식

그러나, 위 방법을 매번 활용해서 제1종 르장드르 함수를 구하면 겁나 복잡하다. 따라서, 엄청 똑똑한 로드리게스라는 수학자가 매우 복잡한 계산을 대신 해줘서 다음과 같이 제1종 르장드르 함수를 구하는 일반적인 공식을 만들었다. 아래 제1종 르장드르 함수를 구하는 공식을 Rodrigues 공식이라고 한다.

$$P _l (x) = \frac{1}{2 ^{l}\,\, l !} (\frac{d} {dx})^l (x ^2 - 1 ) ^l$$

버금 르장드르 방정식

이제, 구면 조화 함수에 직접적으로 등장하는 버금 르장드르 방정식을 풀어보자. 버금 르장드르 방정식의 형태는 다음과 같았다. ($\Phi$ 방정식에서 나온 각도 조건에서부터 $m$은 정수이다.)

$$(1 - x ^{2}) y'' -2xy' + [l(l+1) - \frac{m ^{2}}{1 - x ^{2}}]y = 0$$

음... 르장드르 방정식과는 다르게 뒤에 $- \frac{m ^{2}}{1 - x ^{2}}$ 항이 꼽사리를 끼고 있다. 여기서, x 변수가 분모에 있어서 멱급수를 바로 대입해서 계산하면 변수가 서로 얽혀버려서 계수 비교를 하기 매우 어렵다. 따라서, 우리는 이 미분 방정식의 형태를 다른 형태로 바꿔줘야 한다.

이번에는 미분방정식을 푸는 테크닉 중 시험함수라는 방법을 활용해서 미분방정식을 변형해보자. 시험함수 방법이란 미분방정식의 해를 특정한 형태로 가정한 뒤, 그 식을 대입해 미분방정식을 푸는 방법이다.

일단, 다음과 같이 시험함수를 가정해주자. (원래 아래 시험함수 앞에 정규화상수 $A$가 붙어야하지만, 나중에 어차피 파동함수 정규화할 때 상수는 날아가서 의미가 없으므로 그냥 안 붙였다.)

$$y = (1 - x ^{2}) ^{m/2} u$$

일단, 한번에 대입하기 편하도록 곱함수 미분법을 써서 $y'$, $y''$의 꼴을 정리해주자.

$$y' = -mx (1 - x ^{2}) ^{\frac{m}{2} - 1} u + (1 - x ^{2}) ^{m/2} u'$$

$$\begin{aligned}
y'' &= -m (1 - x ^{2}) ^{\frac{m}{2} - 1} u + m(m-2) x ^{2} (1 - x ^{2}) ^{\frac{m}{2} - 2} u \\
&\,\,\,\,\,\,\,\, - mx (1 - x ^{2}) ^{m/2 - 1} u' - mx (1 - x ^{2}) ^{m/2 - 1} u' + (1 - x ^{2}) ^{m/2} u'' \\
&= -m (1 - x ^{2}) ^{\frac{m}{2} - 1} u + m(m-2) x ^{2} (1 - x ^{2}) ^{\frac{m}{2} - 2} u \\
&\,\,\,\,\,\,\,\, - 2mx (1 - x ^{2}) ^{m/2 - 1} u' + (1 - x ^{2}) ^{m/2} u''
\end{aligned}$$

이제, 위 시험함수를 버금 르장드르 방정식에 대입해주자.

$$\begin{aligned}
&(1 - x ^{2}) y'' -2xy' + [l(l+1) - \frac{m ^{2}}{1 - x ^{2}}]y = 0 \\
\\
&(1 - x ^{2}) [-m (1 - x ^{2}) ^{\frac{m}{2} - 1} u + m(m-2) x ^{2} (1 - x ^{2}) ^{\frac{m}{2} - 2} u \\
&\;\;\;\;\; - 2mx (1 - x ^{2}) ^{\frac{m}{2} - 1} u' + (1 - x ^{2}) ^{m/2} u''] -2x[-mx (1 - x ^{2}) ^{\frac{m}{2} - 1} u \\
&\;\;\;\;\; + (1 - x ^{2}) ^{m/2} u'] + [l(l+1) - \frac{m ^{2}}{1 - x ^{2}}][(1 - x ^{2}) ^{m/2} u] = 0 \\
\\
&-m (1 - x ^{2}) ^{\frac{m}{2}} u + m(m-2) x ^{2} (1 - x ^{2}) ^{\frac{m}{2} - 1} u - 2mx (1 - x ^{2}) ^{m/2} u' \\
&\;\;\;\;\; + (1 - x ^{2}) ^{\frac{m}{2} + 1} u'' +2mx ^{2} (1 - x ^{2}) ^{\frac{m}{2} - 1} u -2x (1 - x ^{2}) ^{m/2} u' \\
&\;\;\;\;\; + [l(l+1) - \frac{m ^{2}}{1 - x ^{2}}](1 - x ^{2}) ^{m/2} u = 0 \\
\end{aligned}$$

양변을 $(1 - x ^{2}) ^{\frac{m}{2}}$로 나눠주자.

$$\begin{aligned}
&-mu + m(m-2) x ^{2} (1 - x ^{2}) ^{- 1} u - 2mx u' + (1 - x ^{2}) u'' \\
&\;\;\;\;\; +2mx ^{2} (1 - x ^{2}) ^{ - 1} u -2x u' + [l(l+1) - \frac{m ^{2}}{1 - x ^{2}}] u = 0 \\
\\
&-mu + m ^{2} x ^{2} (1 - x ^{2}) ^{- 1} u - 2mx u' + (1 - x ^{2}) u'' -2x u' \\
&\;\;\;\;\; + [l(l+1) - \frac{m ^{2}}{1 - x ^{2}}] u = 0 \\
\\
&-mu + m ^{2} \frac{x ^{2}}{1 - x ^{2}} u - 2mx u' + (1 - x ^{2}) u'' -2x u' \\
&\;\;\;\;\; + [l(l+1) - \frac{m ^{2}}{1 - x ^{2}}] u = 0 \\
\\
&(1 - x ^{2}) u'' -2(m+1)x u' + [l(l+1) - m(m+1)] u = 0
\end{aligned}$$

분모에 있던 변수 $x$가 사라져서 훨씬 더 보기 편하다. 그럼 이 식이 도대체 어느 부분에서 르장드르 방정식과 연관이 있다는 것일까? 그 답은 바로 르장드르 방정식을 양변 미분해주면 알 수 있다. (변수가 꼬이는 걸 방지하기 위해서, 르장드르 방정식에 $y$ 대신에 $f$를 넣어줬다.)

$$\begin{aligned}
&\frac{d}{dx} [(1 - x ^{2}) f'' -2xf' + l(l+1)f] = \frac{d}{dx}[0] \\
&(1 - x ^{2}) f''' -2xf'' -2xf'' -2f' + l(l+1)f' = 0 \\
&(1 - x ^{2}) f''' -4xf'' + [l(l+1) - 2]f' = 0 \\
&(1 - x ^{2}) f''' -2(1+1)xf'' + [l(l+1) - 1(1+1)]f' = 0 \\
\end{aligned}$$

또 미분해주자.

$$\begin{aligned}
&\frac{d}{dx} [(1 - x ^{2}) f''' -2(1+1)xf'' + [l(l+1) - 1(1+1)]f'] = \frac{d}{dx}[0] \\
&(1 - x ^{2}) f ^{(4)} -2xf''' -2(1+1)xf''' - 2(1+1)f'' + [l(l+1) - 1(1+1)]f'' = 0 \\
&(1 - x ^{2}) f ^{(4)} -2(2+1)xf''' + [l(l+1) - 1(1+1) - 2(1+1)]f'' = 0 \\
&(1 - x ^{2}) f^{(4)} -2(2+1)xf''' + [l(l+1) - (1+2)(1+1)]f'' = 0 \\
&(1 - x ^{2}) f^{(4)} -2(2+1)xf''' + [l(l+1) - 2(2+1)]f'' = 0 \\
\end{aligned}$$

딱 한번만 더 미분해보자.

$$\begin{aligned}
&\frac{d}{dx} [(1 - x ^{2}) f^{(4)} -2(2+1)xf''' + [l(l+1) - 2(2+1)]f''] = \frac{d}{dx}[0] \\
&(1 - x ^{2}) f ^{(5)} -2xf ^{(4)} -2(2+1)xf ^{(4)} -2(2+1)f''' + [l(l+1) - 2(2+1)]f''' = 0 \\
&(1 - x ^{2}) f ^{(5)} -2(3+1)xf ^{(4)} + [l(l+1) - 2(2+1) -2(2+1)]f''' = 0 \\
&(1 - x ^{2}) f ^{(5)} -2(3+1)xf ^{(4)} + [l(l+1) - 4(2+1)]f''' = 0 \\
&(1 - x ^{2}) f ^{(5)} -2(3+1)x f^{(4)} + [l(l+1) - 3(3+1)]f''' = 0 \\
\end{aligned}$$

규칙이 보이는가? 잘 보면 버금 르장드르 방정식에 시험함수를 대입한 꼴$(1 - x ^{2}) u'' -2(m+1)x u' + [l(l+1) - m(m+1)] u = 0$이 보이기 시작한다. 그리고, 한번 미분할 때마다 시험함수 대입한 꼴의 $m$ 자리에 들어가는 정수가 1씩 늘어나고 있다. 즉, 시험함수 전개한 꼴의 $m$ 자리에 지금까지 총 미분한 횟수가 들어가고, $u$ 자리에 $f ^{(m)}$이 들어간 셈이다.

따라서, 르장드르 방정식을 양변 m번 미분한 결과는 다음과 같다. (일단 $m$이 양의 정수 $m$에 대해서만 고려해주자. 음의 정수인 경우에는 나중에 다룬다.)

$$(1 - x ^{2}) f ^{(m+2)} -2(m+1)x f ^{(m+1)} + [l(l+1) - m(m+1)] f ^{(m)} = 0$$

이 식을 앞에서 시험함수를 버금 르장드르 방정식에 대입하여 얻었던 미분 방정식과 비교해보자.

$$(1 - x ^{2}) u'' -2(m+1)x u' + [l(l+1) - m(m+1)] u = 0$$

앞에서 언급했듯, 시험함수를 버금 르장드르 방정식에 대입한 꼴과, 르장드르 방정식을 양변 m번 미분한 식의 형태가 정확히 같다. 그리고, $u = f ^{(m)}$으로 생각해주면 서로 똑같은 미분방정식임을 알 수 있다.

여기서, $f$는 르장드르 다항식의 해 $P _l (x)$이므로, 다음과 같이 제1종 르장드르 함수로부터 $u$를 구성할 수 있다.

$$u = f ^{(m)} = (\frac{d}{dx}) ^{m} P _l (x)$$

앞에서, 버금 르장드르 방정식 $(1 - x ^{2}) y'' -2xy' + [l(l+1) - \frac{m ^{2}}{1 - x ^{2}}]y = 0$의 해를 $y = (1 - x ^{2}) ^{m/2} u$와 같이 두었으므로, 버금 르장드르 방정식의 해는 다음과 같다.

$$y = (1 - x ^{2}) ^{m/2} u = (1 - x ^{2}) ^{m/2} (\frac{d}{dx}) ^{m} P _l (x)$$

이 해를 버금 르장드르 함수 $P ^m _l (x)$라고 한다. 여기서, m이 음수이더라도 버금 르장드르 방정식에서는 $m ^{2}$만 등장하기 때문에, m이 양수일때와 똑같은 버금 르장드르 함수가 해로 등장한다.

따라서, 모든 정수 $m$에 대해 버금 르장드르 함수 $P ^m _l (x)$는 다음과 같다.

$$P ^m _l (x) = (1 - x ^{2}) ^{m/2} (\frac{d}{dx}) ^{|m|} P _l (x)$$

또한, Rodrigues 공식에 의해 $P _l (x)$는 $l$차 다항식이기 때문에, $m$의 절댓값이 $l$보다 크다면 $P ^m _l (x)$는 0이 된다.

Rodrigues 공식

앞에서 쓴 Rodrigues 공식을 활용해 버금 르장드르 함수를 한번에 쓰면 다음과 같다.

$$\begin{aligned}
P ^m _l (x) &= (1 - x ^{2}) ^{m/2} (\frac{d}{dx}) ^{|m|} P _l (x) \\
&= (1 - x ^{2}) ^{m/2} (\frac{d}{dx}) ^{|m|}[\frac{1}{2 ^{l}\,\, l !} (\frac{d} {dx})^l (x ^2 - 1 ) ^l] \\
&=\frac{1}{2 ^{l}\,\, l !} (1 - x ^{2}) ^{m/2} (\frac{d}{dx}) ^{|m| + l} (x ^2 - 1 ) ^l
\end{aligned}$$

버금 르장드르 함수의 직교규격성

앞에서 말했듯 버금 르장드르 함수는 구면 조화 함수와 긴밀하게 연관이 되어 있기 때문에, 구면 조화 함수의 직교규격성을 언급하려면 버금 르장드르 함수의 제곱의 적분값을 알고 있어야 한다.

다행히도, 버금 르장드르 함수도 다음과 같이 직교성을 만족한다.

$$\int _{-1} ^{1} P ^{m} _l (x) P ^{m'} _{l'} (x) dx = 0 \,(\text{단, } m \ne m'\text{ 이고, } l \ne l')$$

그리고, 버금 르장드르 함수의 제곱을 적분한 결과는 다음과 같다.

$$\int _{-1} ^{1} P ^m _l (x) ^{2} dx = \frac{2}{2l+1} \frac{(l+m)!}{(l-m)!} $$

아쉽게도, 이 적분값들을 구하는 과정은 계산이 너무 복잡하기 때문에, 이 글에서 다루지는 않는다. 그러나, 부분적분을 열심히 하면 구할 수 있기 때문에 시간이 남아돈다면 한번쯤 구해보기를 추천한다.

참고 문헌

• Hass, J. R., Heil, C. E., & Weir, M. D. (2018). Thomas' Calculus: Early Transcendentals (14th ed.). Pearson.
• 대구과학고등학교 현대물리학개론 과목 강의 자료 중 "6.0. 3차원 슈뢰딩거 방정식 해결을 위한 수학적 접근(해석적 방법)" 부분