오늘의 적분2 연습 문제 Solution

\[ I = \int_{0}^{\infty} \frac{\ln (1+x^2)}{x^2} dx \]

분모를 없에기 위해 \( I(a) = \displaystyle \int_{0}^{\infty} \frac{\ln (1+ax^2)}{x^2} dx \,\,\, \) 라 하자.

\[ I'(a) = \int_{0}^{\infty} \frac{1}{x^2} \frac{x^2}{(1+ax^2)} dx = \int_{0}^{\infty} \frac{1}{1+ax^2} dx \]

\( a>0 \) 이므로

\[ I'(a) = \left[ \frac{1}{\sqrt{a}} \tan^{-1} (\sqrt{a} x) \right|_{0}^{\infty} = \frac{\pi}{2} \frac{1}{\sqrt{a}} \]

초기값을 찾으면

\[ I(0) = \int_{0}^{\infty} \frac{\ln (1+0 x^2)}{x^2} dx = 0 \,\, , \,\,\, I(1) = I \]

따라서 이상적분을 계산한다.

\[ I = I(1)-I(0) =\int_{0}^{1} I'(a) da = \int_{0}^{1} \frac{\pi}{2} \frac{1}{\sqrt{a}} da = \frac{\pi}{2} [ 2 \sqrt{a} |_{0}^{1} = \pi \]

따라서

\[ \int_{0}^{\infty} \frac{\ln (1+x^2)}{x^2} dx = \pi \]