본 포스트는 본인이 제작한 2025학년도 경기과학고등학교 수학II 과목 자율탐구보고서의 내용을 기반으로 작성되었습니다.

서론

공간상의 각 위치에서 이동 속도가 주어질 때, 한 점에서 다른 점으로 이동하는 최단 시간 경로를 찾는 문제는 실생활의 다양한 사례와 연계된다. 대표적으로 해변가에서 최단 구조 시간 경로를 찾는 문제는 한 직선을 기준으로 두 평면에서 이동 속도가 다를 때 최단 시간 경로를 구하는 문제의 한 사례이다.

또한 본 문제는 빛의 진행 경로를 설명하는 페르마의 원리(Fermat's Principle)와도 밀접한 관련이 있다. 페르마의 원리는 빛이 한 점에서 다른 점으로 이동할 때, 그 경로가 이동 시간을 최소화하는 경로임을 의미한다. 즉, 빛의 이동 경로를 구하는 문제 역시 최단 시간 경로 문제로 환원된다.

일반적으로 최단 시간 경로 문제가 경계면을 기준으로 속도가 불연속적으로 변화하는 경우에서 다루어지는 것과 달리, 속도가 연속적으로 변화하는 환경에서의 최단 시간 경로는 새로운 분석 방법을 요구한다. 본 보고서에서는 2차원 공간상의 모든 위치에서 이동 속도가 $y$좌표에 비례하는, 즉 경계면이 존재하지 않고 속도가 위치에 따라 연속적으로 변하는 상황에서 최단 시간 경로를 구하는 방법을 분석한다.

이론적 배경

페르마의 원리(Fermat's Principle), 스넬의 법칙(snell's law)

빛의 전파 경로를 결정하는 기본 원리로 페르마의 원리(Fermat's principle)가 있으며, 이는 빛이 두 점 사이를 이동할 때 이동 시간이 극값(일반적으로 최소값)을 갖는 경로를 따른다는 내용이다. 즉, 굴절률 $n(\mathbf{x})$가 주어진 매질에서 빛의 경로 $\gamma$는 $$T[\gamma]=\int_{\gamma}\frac{n(\mathbf{x})}{c},ds$$
를 극소화하는 곡선으로 결정된다.
이 원리를 서로 다른 굴절률을 갖는 두 매질의 경계에 적용하면, 입사각과 굴절각 사이의 관계로서 스넬의 법칙
$$
n_1\sin\theta_A=n_2\sin\theta_B
$$
가 유도된다. 따라서 스넬의 법칙은 페르마의 원리를 특정한 경우에 적용한 결과로 이해할 수 있으며, 두 점 사이의 최단 시간 경로를 구하는 문제에는 일반적으로 스넬의 법칙을 사용할 수 있다.

변수분리법

상미분 방정식이 다음과 같은 꼴로 주어졌다고 하자.

$$
\frac{d}{dx}f(x)=g(x)h(f(x)).
$$

여기서 $y=f(x)$로 두면 방정식은

$$
\frac{dy}{dx}=g(x)h(y)
$$

의 형태로 쓸 수 있다. 이때 $h(y)\neq 0$라고 가정하면 양변을 $h(y)$로 나누어

$$
\frac{dy}{h(y)}=g(x)dx
$$

와 같이 정리할 수 있으며, 이처럼 $x$와 $y$가 서로 다른 쪽에 나타나는 형태를 변수가 분리되었다고 한다. 그러나 고등학교 수준에서 학습한 내용을 기반으로 할 때 $dx$, $dy$를 독립적으로 곱하거나 나누는 것은 엄밀성 측면에서 문제가 있다. 보다 엄밀하게

$$
\frac{1}{h(y)}\frac{dy}{dx}=g(x)
$$

와 같이 나타낼 수 있다. 이 식의 양변을 $x$에 대해 적분하면

$$
\int \frac{1}{h(y)}\frac{dy}{dx}dx=\int g(x)dx
$$

를 얻으며, 좌변에 대해 치환적분을 적용하면
$$
\int \frac{1}{h(y)}dy=\int g(x)dx
$$

의 형태로 나타낼 수 있다. 따라서 양변의 적분이 계산 가능하다면 원래의 상미분 방정식에 대한 해를 구할 수 있으며, 이는 $\frac{dy}{dx}$를 형식적으로 분수처럼 다루어 변수를 분리한 것과 같은 결과를 준다.

오일러-라그랑주 방정식

변분법에서는 어떤 물리량 또는 함수값을 최소(또는 극값)로 만드는 함수의 형태를 구하는 문제를 다룬다.
특히 함수 $y(x)$에 대해
$$
J[y]=\int_{x_1}^{x_2} L\bigl(y,y'\bigr),dx
$$
와 같은 적분값을 최소화하는 문제를 고려하며, 여기서 $L(y,y')$를 라그랑지안(Lagrangian)이라 한다.

이때 $J[y]$를 극값으로 만드는 함수 $y(x)$는 오일러-라그랑주 방정식
$$
\frac{\partial L}{\partial y}-\frac{d}{dx}\left(\frac{\partial L}{\partial y'}\right)=0
$$
을 만족한다.

또한 라그랑지안 $L$이 $x$에 명시적으로 의존하지 않는 경우, 오일러-라그랑주 방정식은 다음의 벨트라미 항등식
$$
L-y'\frac{\partial L}{\partial y'}=C
$$
으로 단순화되며, 이를 통해 미분방정식을 보다 쉽게 구할 수 있다.

문제 정의 및 해결

문제 정의

본 탐구에서 해결하고자 하는 문제는 다음과 같다.

- 2차원 좌표평면 상의 한 지점 $(x,y)$에서 이동 속력은 $y$이다. 이때 시작점 $(x_1, y_1)$에서 도착점 $(x_2, y_2)$까지 이동하는 최단 시간 경로와 그 때의 소요 시간은 얼마인가?

스넬의 법칙과 변수분리법을 이용한 문제 해결 - 기하적 관점

시작점 $(x_1, y_1)$을 점 A, 도착점 $(x_2, y_2)$를 점 B라 하자. A에서 B에 도달하는 최단 시간 경로는 앞선 논의에 의해 스넬의 법칙을 만족함을 알 수 있다. 이 최단 경로 곡선을 $\gamma$라 하자. 2차원 좌표평면에 해당 경로를 표현하자.

해당 경로가 $\gamma$와 같다면, 경로 위의 임의의 점 $P(x,y)$에 대해 속력과 좌표를 생각할 수 있다.

(b)와 같이 P에서 접선을 그리면 접선을 입사광으로, $P$를 지나고 $x$축에 수직인 직선을 법선으로 생각할 수 있다. 이때 점 $P$에서 접선과 수직인 직선과 $x$축의 교점을 $C$라 하자. 각 $PCO$는 입사각과 같고, 이때 스넬의 법칙에 의해 $\frac{\sin \angle PCO}{y}$는 점 $P$의 위치에 상관 없이 일정한 값을 갖는다. 즉, 선분 $PC$의 길이는 일정해야 한다.

$A$와 $B$에서 같은 거리에 떨어진 $x$축상의 점은 유일하게 결정되고, 항상 $PC$의 길이가 일정해야 하므로 경로의 형태는 원호의 형태임을 알 수 있다. 이후 삼각함수와 역삼각함수를 적절히 이용하면, 최단 경로의 길이 역시 구할 수 있다.

스넬의 법칙과 변수분리법을 이용한 문제 해결 - 대수적 관점 1

(b)에서 선분 $PC$의 길이를 $c$라 하자. 또, $\theta=\angle PCO$라 하자. $y=c\sin \theta, \frac{dy}{d\theta}=c\cos \theta$이다. 또한, 접선의 기울기 $\frac{dy}{dx}=\cot \theta$이다. 변수분리법을 이용하여 계산하면,

$$
x=\int dx=\int \frac{dx}{dy} \cdot dy = \int \tan \theta \cdot c \cos \theta d\theta = c \int \sin \theta d\theta = -c\cos\theta + C
$$

의 식을 얻을 수 있다. $x$와 $y$를 연립하면 $(x-C) ^ 2+ y^2=c^2$이 되고, 이는 원의 방정식과 같다. ($C$는 초기 조건에 의해 정해지는 값으로, 기하적 관점에서 설명한 $x$축 상의 지점과 같다.)

소요 시간 역시 간단한 적분을 통해 계산할 수 있다. $x$의 미소 변화 동안 이동 거리를 속력으로 나눈 값이 미소 시간이 되므로,

$$
t = \int dt = \int ^ {x _ 2} _ {x _ 1} \frac{\sqrt{1+(y') ^ 2}}{y} dx = \int ^ {\theta _ B} _ {\theta _ A} \frac{1}{\sin \theta} d\theta = [\ln{|csc\theta-cot\theta|}] ^ {\theta _ B} _ {\theta _ A}
$$

와 같이 계산 가능하다. ($\theta_A$, $\theta_B$는 각각 $\angle ACO, \angle BCO$를 의미한다.)

스넬의 법칙과 변수분리법을 이용한 문제 해결 - 대수적 관점 2

기하적 직관을 이용하지 않고 대수적 방법으로 라그랑지안을 이용해 문제를 해결할 수 있다. 본 문제에서 이동 시간은 경로 $y(x)$에 대해
$$
T[y]=\int_{x_1} ^ {x_2}\frac{\sqrt{1+(y') ^ 2}}{y}dx
$$
로 주어지며, 이에 대응하는 라그랑지안은
$$
L(y,y')=\frac{\sqrt{1+(y')^2}}{y}
$$
이다. 이 라그랑지안은 독립변수 $x$에 명시적으로 의존하지 않으므로,
벨트라미 항등식
$$
L-y'\frac{\partial L}{\partial y'}=C
$$
를 적용할 수 있다. 직접 계산하면
$$
\frac{\partial L}{\partial y'}=\frac{y'}{y\sqrt{1+(y')^2}}
$$
이므로,
$$
\frac{\sqrt{1+(y')^2}}{y}
-y'\cdot\frac{y'}{y\sqrt{1+(y')^2}}
=\frac{1}{y\sqrt{1+(y')^2}}=C
$$
를 얻는다. 따라서 경로 $y(x)$는
$$
y\sqrt{1+(y')^2}=\frac{1}{C}
$$
를 만족하며, 이는 최단 시간 경로를 결정하는 미분방정식이 된다. 또한 이를 $\sin \theta = Cy$로 적절히 치환하면 마찬가지로 원의 방정식을 얻을 수 있다.

결론

본 탐구에서는 2차원 좌표평면에서 위치에 따라 이동 속력이 $y$좌표에 비례하는 상황을 설정하고, 두 점 사이를 이동하는 데 걸리는 최단 시간 경로를 스넬의 법칙과 페르마의 원리의 관점에서 구했다.

기하적 관점에서는 경로 위의 임의의 점에서 접선과 법선을 도입하고, 스넬의 법칙을 적용함으로써 특정 선분의 길이가 일정해야 함을 이용하였다. 이를 통해 최단 시간 경로가 원호의 형태임을 직관적으로 이해할 수 있었다. 또한 변수분리법과 삼각함수 치환을 사용한 대수적 계산을 통해, 해당 경로가 실제로 원의 방정식을 만족함을 확인하였다.

나아가 라그랑지안을 이용하여 이동 시간을 적분 형태로 나타내고, 오일러-라그랑주 방정식을 적용함으로써 기하적 직관에 의존하지 않고도 최단 시간 경로를 결정하는 미분방정식을 얻을 수 있었다. 이 과정에서 서로 다른 접근 방법이 동일한 결과로 귀결된다는 점을 확인할 수 있었다.

부록

32231번: 재우의 삼수강

Baekjoon Online Judge스타트링크 (Startlink)

본 포스트에서 해결한 문제는 백준 온라인 저지의 32231번 재우의 삼수강 문제와 동일하다. 글의 내용을 따라 코드로 적절히 구현하면 문제를 해결 가능하다.

[백준 32231] 재우의 삼수강 (C++)

https://www.acmicpc.net/problem/32231 [문제 요약]T개의 테스트 케이스가 주어집니다.각 테스트 케이스는, 한 점 (x1, y1)에서 다른 점 (x2, y2)까지 이동하는 데 걸리는 최단 시간을 구하면 됩니다.그런데 이때 속력은 y입니다. 즉 현재 y좌표가 y’면, y’/초의 속력을 가지게 됩니다. [문제 풀이]물리학에서의 최속 강하 곡선과 비슷한 문제입니다. 중력장에서, 즉 속력이 sqrt(y)와 비례할 때, 어떤 경로를 지나야 가장 빠른지를 묻는 문제입니다. 이는 사이클로이드라고 잘 알려져 있는데, 이 문제에서는 속력이 그냥 y에 비례하므로 다른 경로가 나올 것입니다. 먼저, 입력 받았을 때의 일반화부터 해 보겠습니다. 두 점 P1, P2에 대해, P1->P2로 가는 최…

TISTORYM0N0RAIL

기하적 관점에서의 접근은 위의 tistory 블로그의 내용을 상당 부분 참고했다. 다만 본 블로그에서는 PS의 관점보다는 학교에서 학습한 고등학교 수준의 미적분학을 이용하여 내용을 엄밀하게 서술하는 부분에 중점을 두어 문제를 해결 가능한 별도의 코드는 첨부하지 않았다.