내 성격은 4차원
죄송하지만, 이 글이 올라오기 전에 7편 글을 읽었더라도 앞으로 넘어가서 글을 다시 읽어 주시기 바랍니다.
우리는 지금까지 위치가 x 한 변수로 표현되는 1차원 공간에서의 파동함수와 슈뢰딩거 방정식에 관해 살펴보았다. 그러나, 우리가 실제로 사는 세상은 3차원 세상이고, 실제 입자는 3차원 좌표 내에서 거동한다. 그래서, 실제 양자 입자의 거동을 살펴보기 위해서는 3차원 파동함수와 3차원 슈뢰딩거 방정식에 관해서 배워야 한다.
이 글을 읽을 때에는 3차원 파동함수가 앞에서 배운 1차원 파동함수와 어떻게 다른지에 집중하여 읽어보자.
3차원 파동함수
3차원 파동함수는 3차원 좌표에서의 물질파를 나타내는 수학적 함수로, 다음과 같이 x, y, z, t의 4개 변수를 가진다. (x, y, z는 위치 변수, t는 시간 변수)
$$\Psi(x, y, z, t)$$
앞 글에서 고유 상태의 1차원 파동함수가 공간항과 시간항으로 변수분리되는 것과 같이, 고유 상태의 3차원 파동함수도 공간항 $\psi(x, y, z)$, 시간항 $\phi(t)$로 변수분리된다고 가정한다.
$$\Psi(x, y, z, t) = \psi(x, y, z) \phi(t)$$
3차원 파동함수의 평면파 해
앞에서 다루었던 1차원 파동함수의 일반해를 구했던것과 같이, 3차원 파동함수의 기본이 되는 평면파 해를 살펴보자.
(여기서, 1차원 파동함수와는 달리 이를 3차원 파동함수의 일반해라고 부르지는 않는다. 지금부터 다룰 식은 특정한 운동량을 가지는 평면파 해에 해당하며, 실제 일반해는 이러한 평면파들을 모든 가능한 운동량에 대해 선형 결합한 형태로 표현된다. 즉, 평면파 해는 일반해를 구성하는 하나의 기본적인 해라고 볼 수 있다.)
일단, 1차원 파동함수의 일반해는 다음과 같았다.
$$\Psi(x, t) = A e^{\frac{i}{\hbar}(px-Et)} + B e^{-\frac{i}{\hbar}(px+Et)} $$
여기서, 지수에 위치를 나타내는 변수 $x$와 운동량 $p$가 곱해져있다. 비슷하게, 3차원 파동함수의 평면파 해도 $px$ 자리에 3차원에서의 위치 $\mathbf{r}$과 3차원에서의 운동량 $\mathbf{p}$가 곱해진 것으로 확장할 수 있다.
그러면, 3차원에서의 위치 $\mathbf{r}$와 운동량 $\mathbf{p}$가 어떻게 기술되는지 알아보자. 일단, 고등학교 기하 시간에 배웠던 것과 같이, 3차원 직교좌표 상의 위치는 다음과 같이 벡터로 표현할 수 있다. (벡터가 위에 화살표가 올려져있는게 아닌 두꺼운 볼드체로 되어 있어도 당황하지 말자. 대학 과정 이상에서는 다 이렇게 쓴다.)
$$\mathbf{r} = (x, y, z)$$
그 다음으로, 3차원에서 운동량도 벡터로써 기술된다. 필자가 3점 슛을 쏴서 농구공이 비스듬하게 날아가고 있는 상황을 생각해보자. 농구공이 3차원 상의 임의의 방향으로 날아가고 있으므로 농구공은 x, y, z방향 운동 성분을 가진다. 이와 비슷하게, 3차원 공간에서 자유입자는 $x$, $y$, $z$ 방향의 운동 성분을 각각 가질 수 있다. 따라서 입자의 운동량은 다음과 같은 벡터로 나타낼 수 있다.
$$
\mathbf{p} = (p_x, p_y, p_z)
$$
따라서, 이를 1차원 파동함수의 일반해의 $px$ 자리에 넣어주자. 여기서, 두 벡터 $\mathbf{p}$, $\mathbf{r}$의 곱을 계산해야 하는데, 지수 자리에는 스칼라값이 들어가야 하므로 벡터의 내적을 활용해주면 된다.
$$\Psi(x, t) = A e^{\frac{i}{\hbar}(\mathbf{p} \cdot \mathbf{r} -Et)} = A e^{\frac{i}{\hbar}(p_x x + p_y y + p_z z -Et)}$$
이게 바로 3차원 파동함수의 평면파 해다.
(여기서, 부호가 반대인 항이 뒤에 없는 이유는, 3차원 좌표계에서 운동량은 방향이 있는 벡터량이기 때문에 반대로 진행하는 파동도 그냥 운동량에 음수를 붙이면 되기 때문이다.)
보른의 해석 in 3차원 파동함수
파동함수에서 보른의 해석은 "파동함수의 절댓값 제곱($|\psi| ^{2}$)이 입자가 특정 위치에 존재할 확률을 나타내는 확률밀도함수 $\rho$"라는 것이었다. 1차원 파동함수에서 특정 위치 범위에서 입자가 존재할 확률은 그냥 $|\psi| ^{2}$를 x에 대해 적분해주면($\int ^{b} _{a} |\psi| ^{2} dx$) 되었지만, 3차원 파동함수는 조금 더 복잡하다.
1차원 파동함수에서 확률을 구하는 적분식을 다시 한번 살펴보자.
$$P = \int ^{b} _{a} |\psi| ^{2} dx$$
잘 보면 확률을 구하기 위해서 확률밀도함수($|\psi| ^{2}$)에 위치의 미소 변화량($dx$)를 곱해준 값을 싸그리 더해주고($\int$) 있다.
3차원 파동함수에서 위치의 미소량은 미소 부피이기 때문에, $dx$ 대신에 $dx dy dz$를 곱해주어야 한다. ($dx dy dz = d\tau$라고 짧게 쓰기도 한다.)
그리고, 싸그리 더해줄 때 x방향뿐만 아니라 y방향, z방향으로도 모두 더해주어야 하기 때문에, 중적분을 활용해야 한다. (괴랄한 수식들이 춤을 추고 있는 위키백과 문서를 보고 겁 먹을 수도 있는데, 중적분은 어려운 게 아니라 그냥 양파 껍질을 까듯이 안에서부터 정적분해서 차근차근 적분을 하나씩 벗겨주면 된다.)
$$P = \int ^{z_{2}} _{z_{1}} \int ^{y_{2}} _{y_{1}} \int ^{x_{2}} _{x_{1}} |\psi| ^{2} dx dy dz$$
여기서, $\int ^{z_{2}} _{z_{1}}$는 $dz$와, $\int ^{y_{2}} _{y_{1}}$는 $dy$와, $\int ^{x_{2}} _{x_{1}}$는 $dx$와 대응됨에 주의하자.
3차원 파동함수의 연산자
3차원 파동함수의 운동량 연산자
이전에 1차원 파동함수의 운동량 연산자는 다음과 같다고 살펴보았다.
$$\hat{p} = \frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial x}$$
그럼, 3차원 파동함수의 운동량 연산자는 어떻게 될까? 같이 알아보자.
위에서 말했던 것과 같이, 입자의 운동량은 다음과 같은 벡터로 나타낼 수 있다.
$$
\mathbf{p} = (p_x, p_y, p_z)
$$
위에서 구한 것과 같이, 3차원 파동함수의 평면파 해는 다음과 같다.
$$\Psi(x,y,z,t) = A e^{\frac{i}{\hbar}(p_x x + p_y y + p_z z - Et)}$$
이제 운동량의 각 성분에 대응하는 연산자를 구해 보자. 먼저 위 파동함수를 x에 대해 편미분하면 다음과 같다.
$$\frac{\partial \Psi}{\partial x}=\frac{i}{\hbar}p_x \Psi$$
위 식을 정리해주면 다음과 같이 운동량의 x축 성분($p_{x}$)이 파동함수에 곱해진 형태를 얻을 수 있다.
$$p_x \Psi = \frac{\hbar}{i} \frac{\partial \Psi}{\partial x} $$
비슷하게 y와 z에 대해서도 계산하면 다음과 같다.
$$\begin{aligned}
p_y \Psi &= \frac{\hbar}{i} \frac{\partial \Psi}{\partial y} \\
p_z \Psi &= \frac{\hbar}{i} \frac{\partial \Psi}{\partial z}
\end{aligned}$$
따라서 3차원 공간에서 운동량의 각 성분에 대응하는 운동량 연산자는 다음과 같다.
$$\begin{aligned}
\hat{p}_x &= \frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial x} \\
\hat{p}_y &= \frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial y} \\
\hat{p}_z &= \frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial z}
\end{aligned}$$
위에서 보았던 $\mathbf{p} = (p_x, p_y, p_z)$ 식의 양변에 프사이를 곱해주고, 방금 구한 성분별 운동량 연산자를 사용해주자.
$$\begin{aligned}
\mathbf{p} \Psi &= (p_x, p_y, p_z) \Psi = (p_x \Psi, p_y \Psi, p_z \Psi) \\
&= (\hat{p}_x \Psi, \hat{p}_y \Psi, \hat{p}_z \Psi) = (\hat{p}_x, \hat{p}_y, \hat{p}_z) \Psi \\
&= \frac{\hbar}{i} (\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z}) \Psi
\end{aligned}$$
여기서, $(\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z})$는 델($\nabla$)라고 하는 연산자이다. 따라서, 이를 다시 쓰면 다음과 같다.
$$\begin{aligned}
\mathbf{p} \Psi &= \frac{\hbar}{i} (\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z}) \Psi \\
&= \frac{\hbar}{i} \nabla \Psi
\end{aligned}$$
따라서, 3차원 파동함수에서의 운동량 연산자 $\hat{\mathbf{p}}$는 다음과 같다.
$$\hat{\mathbf{p}} = \frac{\hbar}{i} \nabla$$
3차원 파동함수의 운동량 제곱 연산자
이제, 운동량 제곱 연산자를 구해보자. 운동량 벡터의 크기 제곱은 $$p^2 = p_x^2 + p_y^2 + p_z^2$$ 이므로, 연산자도 각 성분을 제곱한 뒤 더한 형태가 된다.
$$\begin{aligned}
\hat{p}^2 &= \hat{p}_x ^2 + \hat{p}_y ^2 + \hat{p}_z ^2 \\
&= \hat{p}_x \hat{p}_x + \hat{p}_y \hat{p}_y + \hat{p}_z \hat{p}_z
\end{aligned}$$
위에서 구한 각 성분별 운동량 연산자를 대입해주자.
$$\begin{aligned}
\hat{p}^2 &= \hat{p}_x \hat{p}_x + \hat{p}_y \hat{p}_y + \hat{p}_z \hat{p}_z \\
&= - \hbar ^{2} \frac{\partial ^{2}}{\partial x ^{2}} - \hbar ^{2} \frac{\partial ^{2}}{\partial y ^{2}} - \hbar ^{2} \frac{\partial ^{2}}{\partial z ^{2}} \\
&= - \hbar ^{2} (\frac{\partial ^{2}}{\partial x ^{2}} + \frac{\partial ^{2}}{\partial y ^{2}} + \frac{\partial ^{2}}{\partial z ^{2}})
\end{aligned}$$
여기서, $\frac{\partial ^{2}}{\partial x ^{2}} + \frac{\partial ^{2}}{\partial y ^{2}} + \frac{\partial ^{2}}{\partial z ^{2}}$는 라플라시안($\nabla ^{2}$)이라고하는 연산자이다. 따라서, 3차원 파동함수에서의 운동량 제곱 연산자 $\hat{\mathbf{p}} ^{2}$는 다음과 같다.
$$\hat{p}^2 = - \hbar ^{2} \nabla ^{2}$$
3차원 파동함수의 해밀토니안 연산자
그 다음으로, 해밀토니안 연산자를 구해보자. 앞에서 1차원 파동함수의 해밀토니안 연산자를 구할 때, 해밀토니안의 정의로부터 다음과 같은 식이 성립함을 알 수 있었다.
$$\hat{H} = \frac{\hat{p}^2}{2m} + U$$
이제, 바로 전에 구한 3차원 파동함수에서의 운동량 제곱 연산자를 대입해주면, 3차원 파동함수에서의 해밀토니안 연산자 $\hat{H}$는 다음과 같다.
$$\hat{H} = -\frac{\hbar ^{2}}{2m}\nabla ^{2} + U$$
3차원 슈뢰딩거 방정식
이제, 지금까지 살펴본 3차원 파동함수에 관한 지식을 통해 3차원 슈뢰딩거 방정식을 구해보자. 다시 기억을 떠올려보면, 슈뢰딩거 방정식은 양자역학에서도 계의 에너지가 역학적 에너지와 같다에서 출발하였다.
$$E = E_{mech} = H$$
양변에 프사이를 곱해주고, 에너지 연산자와 해밀토니안 연산자를 활용해주자.
$$E\Psi = H\Psi$$
3차원 파동함수에서의 에너지 연산자와 해밀토니안 연산자를 적용해주자.
$$\hat{E}\Psi = \hat{H}\Psi$$
$$i\hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t} = -\frac{\hbar ^ 2}{2m} \nabla ^{2} \Psi + U\Psi$$
위 식이 바로 3차원 파동함수에 대한 시간 의존 슈뢰딩거 방정식이다. 지난 글에서 시간 비의존 슈뢰딩거 방정식을 유도했던 방법과 비슷하게, 공간항과 시간항으로 변수분리된 파동함수를 대입해주면 다음과 같은 3차원 파동함수에 대한 시간 비의존 슈뢰딩거 방정식을 구할 수 있다.
$$-\frac{\hbar ^ 2}{2m} \nabla ^{2} \Psi + U\Psi = E\Psi$$
그리고, 지난 글에서 시간항 구했던 것과 똑같이 하면, 3차원 파동함수의 시간항은 1차원 파동함수과 똑같이 다음과 같다.
$$\phi = e^{-\frac{iE}{\hbar}t}$$
참고 자료
- Oxtoby, D. W., Gillis, H. P., Campion, A., & Butler, L. J. (2016). Principles of modern chemistry (7th ed.). Boston, MA: Cengage Learning.
- Atkins, P. W., de Paula, J., & Keeler, J., Atkins’ Physical Chemistry, 8th ed., Oxford University Press, 2018.
- Griffiths, D. J., & Schroeter, D. F. (2018). Introduction to quantum mechanics (3rd ed.). Cambridge University Press.
연습문제
3차원 파동함수와 슈뢰딩거 방정식 연습문제입니다!
- 상수 a에 대해, 어떤 3차원 물질파의 파동함수는 다음과 같다. 물음에 답하시오.
$$\psi (x, y, z) = e ^{-a(x ^{2} + y ^{2} + z ^{2})}$$- 이 파동함수에 규격화 상수를 곱해 파동함수를 규격화하시오.
- 입자가 구간 $-1 \le x \le 1, -1 \le y \le 1, -1 \le z \le 1$에 존재할 확률을 적분식으로 나타내시오.
- 다음 함수 $f$의 라플라시안($\nabla ^{2} f$)을 계산하시오.
$$f(x, y, z) = 2xy + 3z ^{2} + \frac{6}{x}$$ - 파동함수가 시간항과 공간항으로 변수분리된다는 가정($\Psi = \psi (x, y, z) \phi (t)$)을 활용해, 3차원 시간 의존 슈뢰딩거 방정식으로부터 3차원 시간 비의존 슈뢰딩거 방정식을 유도하시오.
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