시리즈 | Quantum Chemistry - 5.2. 일반화된 불확정성 원리

지난 글에서 우리는 위치-운동량 불확정성 원리와 에너지-시간 불확정성 원리를 알아보았고, 비로소 양자역학의 확률적인 불확정성에 관해 이해하게 되었다. 그러면, 다음과 같은 질문이 든다.

과연 두 물리량이 어떤 조건을 만족하면 불확정성 원리를 만족할까?

이번 시간에는 이 질문을 통쾌하게 해결해줄 일반화된 불확정성 원리에 관해 알아본다. 그리고, 오늘 알아볼 일반화된 불확정성 원리를 활용하면 근본적으로 위치-운동량 불확정성 원리의 $\hbar / 2$ 상수의 의미를 알게 된다. 자, 그러면 일반화된 불확정성 원리를 통해 불확정성 원리를 근본적으로 파헤쳐보자!

일반화된 불확정성 원리

지난 시간에 언급한 불확정성 원리를 복습해보자.

불확정성 원리는 서로 두 다른 물리량의 불확정성의 관계에 관하여 기술하는 원리이다. 지난 글에서는 위치-운동량 불확정성 원리를 살펴보았고, 위치와 운동량은 동시에 정확하게 측정할 수 없음을 확인했었다.

이번 글에서 다뤄볼 일반화된 불확정성 원리는 위치-운동량, 에너지-시간의 관계를 넘어서 임의의 두 물리량의 불확정성 관계를 기술한 원리를 말한다. 일반화된 불확정성 원리에 따르면, 서로 다른 두 물리량을 기술하는 연산자가 교환 불가능하면 그 두 물리량을 동시에 정확히 측정할 수는 없으며, 그 불확정성의 곱은 교환자에 $2i$를 나눈 값 이상을 가진다. 연산자 $\hat{A}$, $\hat{B}$에 대한 물리량 $A$, $B$에 대해 일반화된 불확정성 원리를 식으로 표현하면 다음과 같다.

$$\sigma _A \sigma _B \ge \frac{1}{2i}\braket{[\hat{A},\hat{B}]}$$

일반화된 불확정성 원리의 증명

Cauchy-Schwarz Inequality

일반화된 불확정성 원리를 증명하기 위해 부등식 하나만 알아보고 가자. 바로 Cauchy-Schwarz Inequality다. 제목을 영어로 적으니까 뭔가 있어 보이고 어려워 보인다. 그런데, 한글로 읽으면 "뭐야? 별 거 아니네" 소리가 저절로 나온다.

코시 슈바르츠 부등식

고1때 절대부등식 단원에서 배웠던 코시-슈바르츠 부등식이 갑자기 떠오른다. 고등학교에서 배운 코시-슈바르츠 부등식은 다음과 같은 부등식이 모든 실수 a, b, x, y에 관해 성립한다는 것이었다.

$$(a ^{2} + b ^{2}) (x ^{2} + y ^{2}) \ge (ax + by) ^{2}$$

우리가 이번 글에서 활용할 Cauchy-Schwarz Inequality는 이 코시-슈바르츠 부등식을 일반화한 부등식이라고 보아도 좋다. Cauchy-Schwarz Inequality에 따르면, 내적 연산 $<,>$를 가지는 내적 공간의 원소 $u, v$에 대해, 다음과 같은 부등식이 성립한다.

$$|\braket{u, v}| \le \lVert u \rVert \lVert v \rVert$$

$$|\braket{u, v}| ^{2} \le \braket{u, u} \braket{v, v}$$

(실제로, $<,>$를 $\mathbb{R}^2$ 내적 공간 내의 유클리드 내적 연산으로, $u = (a, b)$, $b = (x, y)$로 넣고 대입해주면 고등학교에서 배운 코시-슈바르츠 부등식이 유도된다.)

양자역학에서 주로 다루는 벡터 공간인 힐베르트 공간에서는 두 함수 f, g에 대한 내적을 우리가 전에 배운 Braket 표기법으로 정의한다. ($\braket{f, g} := \braket{f|g}$) 따라서, 다음이 성립한다.

$$|\braket{f|g}| ^{2} \le \braket{f|f} \braket{g|g}$$

이게 바로 우리가 일반화된 불확정성 원리 증명에 사용할 Cauchy-Schwarz Inequality다.

불확정성의 수학적 표현

일반화된 불확정성 원리의 첫 스텝으로, 지난 시간에 뭉뚱그려서 표현했던 불확정성을 Braket 표기법으로 표현하는 방법을 알아보자.

지난 글에서 표현했던 것과 같이, 불확정성은 범위의 의미를 가지며, 일반적으로 해당 물리량의 표준편차($\sigma _A$)로 나타낸다. 확률과 통계 시간에 배웠던 분산의 정의, "물리량의 제곱의 평균 빼기 물리량의 평균의 제곱" (일명 제평평제)에 따르면 불확정성의 제곱(표준편차의 제곱 = 분산)을 다음과 같이 적을 수 있다.

$$\sigma _A ^{2}= \braket{A ^{2}} - \braket{A} ^{2}$$

이 정의는 2개의 항으로 분리되어 있어서 계산하기 힘들다. 그래서, 이 글에서는 두 항을 한 항으로 묶어준 다음 정의를 주로 사용한다.

$$\sigma_A ^{2} = \braket{(\hat{A} - \braket{A}) ^{2}}$$

두 정의가 동치임을 보여보자. 일단, 제곱을 풀어주자.

$$\braket{(\hat{A} - \braket{A}) ^{2}} = \braket{\hat{A} ^{2} -2\braket{A}\hat{A} + \braket{A} ^{2}}$$

확률변수 X, Y의 기댓값에 대해 $E(X + Y) = E(X) + E(Y)$, 즉, $\braket{X + Y} = \braket{X} + \braket{Y}$가 성립하므로, 다음과 같이 정리할 수 있다.

$$\braket{(\hat{A} - \braket{A}) ^{2}} = \braket{\hat{A} ^{2}} -2\braket{\braket{A}\hat{A}} + \braket{\braket{A} ^{2}}$$

확률변수 X와 상수 k에 대해 $E(kX) = kE(X)$, 즉, $\braket{kX} = k\braket{X}$가 성립한다. 그리고, 상수의 기댓값은 상수 그 자체이기 때문에 다음과 같이 정리할 수 있다.

$$\begin{aligned}
\braket{(\hat{A} - \braket{A}) ^{2}} &= \braket{\hat{A} ^{2}} -2\braket{A}\braket{\hat{A}} + \braket{A} ^{2} = \braket{A ^{2}} -2\braket{A}\braket{A} + \braket{A} ^{2} \\
&= \braket{A ^{2}} - \braket{A} ^{2} = \sigma_A
\end{aligned}$$

따라서, $\sigma_A ^{2} = \braket{(\hat{A} - \braket{A}) ^{2}}$가 성립함을 알 수 있다.

일반화된 불확정성 원리의 증명

이제, 일반화된 불확정성 원리를 증명해보자. 두 물리량 A, B에 대해서 불확정성의 제곱(분산)은 다음과 같이 적을 수 있다.

$$\sigma_A ^{2} = \braket{(\hat{A} - \braket{A})(\hat{A} - \braket{A})}$$

$$\sigma_B ^{2} = \braket{(\hat{B} - \braket{B})(\hat{B} - \braket{B})}$$

4편 파동함수 글에서 보았던 것과 같이, $\braket{\hat{Q}} = \braket{\psi | \hat{Q} \psi}$이므로, 임의의 행실 좋은 파동함수 $\psi$에 대해 다음과 같이 표기를 바꿀 수 있다.

$$\sigma_A ^{2} = \braket{\psi |(\hat{A} - \braket{A})(\hat{A} - \braket{A})\psi}$$

$$\sigma_B ^{2} = \braket{\psi | (\hat{B} - \braket{B})(\hat{B} - \braket{B})\psi}$$

여기서, A, B는 물리적으로 의미가 있는 실수 관측량이기 때문에, 이에 대응하는 연산자 $\hat{A}$, $\hat{B}$는 Hermitian 연산자이다. Hermitian 연산자에 상수를 더한 연산자도 당연하게 Hermitian 연산자이므로, 위 식에서 $\psi$ 앞에 곱해진 연산자 둘 중 하나를 "|" 앞으로 넘겨줄 수 있다. 그리고, 일일히 적기는 귀찮기 때문에 $(\hat{A} - \braket{A})\psi = f$로, $(\hat{B} - \braket{B})\psi = g$로 치환해주자.

$$\sigma_A ^{2} = \braket{\psi |(\hat{A} - \braket{A})(\hat{A} - \braket{A})\psi} = \braket{(\hat{A} - \braket{A}) \psi |(\hat{A} - \braket{A})\psi} := \braket{f | f}$$

$$\sigma_B ^{2} = \braket{\psi | (\hat{B} - \braket{B})(\hat{B} - \braket{B})\psi} = \braket{(\hat{B} - \braket{B}) \psi | (\hat{B} - \braket{B})\psi} := \braket{g | g} $$

이제, 두 불확정성을 곱해주고, 앞에서 살펴본 Cauchy-Schwarz Inequality를 적용해주자.

$$\sigma_A ^{2} \sigma_B ^{2} = \braket{f | f} \braket{g | g} \ge |\braket{f | g} |^{2}$$

임의의 복소수 $z$에 대해, 복소수 절댓값 제곱 $|z|^{2} \ge [\frac{1}{2i} (z-z ^{\ast}) ]^{2}$)이 성립한다. (실수 a, b에 대해 $z = a+bi$라 했을 때, 좌변은 $a ^{2} + b ^{2}$, 우변은 $a ^{2}$이기 때문)
위 관계를 식에 적용하면 다음과 같다.

$$\begin{aligned}
|\braket{f | g} | ^{2} &\ge (\frac{1}{2i} (\braket{f | g} - \braket{f | g} ^{\ast}) ) ^{2} = (\frac{1}{2i} (\braket{f | g} - \braket{g|f}) ) ^{2} \\
&= (\frac{1}{2i} (\braket{(\hat{A} - \braket{A}) \psi | (\hat{B} - \braket{B}) \psi} - \braket{(\hat{B} - \braket{B}) \psi|(\hat{A} - \braket{A}) \psi})) ^{2}
\end{aligned}$$

Hermitian 연산자인 $(\hat{A} - \braket{A})$, $(\hat{B} - \braket{B})$연산자를 "|" 오른쪽으로 다시 넘겨주자. (식이 많이 복잡하다. 눈을 크게 뜨고 잘 살펴보도록 하자.)

$$\begin{aligned}
|\braket{f | g} | ^{2} &= (\frac{1}{2i} (\braket{(\hat{A} - \braket{A}) \psi | (\hat{B} - \braket{B}) \psi} - \braket{(\hat{B} - \braket{B}) \psi|(\hat{A} - \braket{A}) \psi})) ^{2} \\
&= (\frac{1}{2i} (\braket{\psi | (\hat{A} - \braket{A}) (\hat{B} - \braket{B}) \psi} - \braket{\psi| (\hat{B} - \braket{B}) (\hat{A} - \braket{A}) \psi})) ^{2} \\
&= (\frac{1}{2i} (\braket{\psi | (\hat{A} - \braket{A}) (\hat{B} - \braket{B}) \psi} - \braket{\psi| (\hat{B} - \braket{B}) (\hat{A} - \braket{A}) \psi})) ^{2} \\
&= (\frac{1}{2i} (\braket{(\hat{A} - \braket{A}) (\hat{B} - \braket{B})} - \braket{(\hat{B} - \braket{B}) (\hat{A} - \braket{A})})) ^{2} \\
&= (\frac{1}{2i} (\braket{\hat{A}\hat{B} - \braket{A} \hat{B} - \hat{A} \braket{B} + \braket{A}\braket{B}} - \braket{\hat{B}\hat{A} - \braket{B} \hat{A} - \hat{B} \braket{A} + \braket{B}\braket{A}})) ^{2} \\
&= (\frac{1}{2i} (\braket{\hat{A}\hat{B} - \braket{A} \hat{B} - \braket{B} \hat{A} + \braket{A}\braket{B}} - \braket{\hat{B}\hat{A} - \braket{B} \hat{A} - \braket{A}\hat{B} + \braket{A}\braket{B}})) ^{2} \\
&= (\frac{1}{2i} (\braket{\hat{A}\hat{B} - \braket{A} \hat{B} - \braket{B} \hat{A} + \braket{A}\braket{B} - \hat{B}\hat{A} + \braket{B} \hat{A} + \braket{A}\hat{B} - \braket{A}\braket{B}})) ^{2} \\
&= (\frac{1}{2i} (\braket{\hat{A}\hat{B} - \hat{B}\hat{A}})) ^{2} \\
\end{aligned}$$

이제, 교환자의 정의를 활용해주면 다음과 같다.

$$\begin{aligned}
|\braket{f | g} | ^{2} &= (\frac{1}{2i} (\braket{\hat{A}\hat{B} - \hat{B}\hat{A}})) ^{2} \\
&= (\frac{1}{2i} (\braket{[\hat{A}, \hat{B}]})) ^{2}
\end{aligned}$$

위에서 $\sigma_A ^{2} \sigma_B ^{2} \ge |\braket{f | g} |^{2}$임을 보였으므로, 다음 식이 성립함을 알 수 있다.

$$\sigma_A ^{2} \sigma_B ^{2} \ge (\frac{1}{2i} \braket{[\hat{A}, \hat{B}]}) ^{2}$$

이제, 양변에 루트를 씌워주면, 다음과 같이 일반화된 불확정성 원리를 증명할 수 있다!

$$\sigma_A \sigma_B \ge \frac{1}{2i} \braket{[\hat{A}, \hat{B}]}$$

일반화된 불확정성 원리의 적용

위치-운동량 불확정성 원리의 증명

자, 그러면 위에서 증명한 일반화된 불확정성 원리로 지난 글에서 잠시 미뤄두었던 위치-운동량 불확정성 원리의 증명을 살펴보자.

일반화된 불확정성 원리에 위치와 운동량을 대입하기 위해서는, 먼저 교환자 $[x, \hat{p}]$를 먼저 구해야 한다. 그런데, 운동량 연산자에는 미분 연산자가 있어가지고 연산자 그 자체로는 교환자를 계산하기 힘들다.

따라서, 우리는 "시험함수"라는 기술을 활용하여 편하게 교환자를 구할 것이다. 시험함수를 활용하여 교환자를 구하는 방법은 임의의 함수 $f$ 하나(시험함수)에 교환자를 일단 적용한 다음, 식 정리를 했을 때 최종 결과 식 중 $f$를 제외한 앞 부분을 추출하면 된다.

이제, 교환자를 구해보자. 임의의 시험함수 $f$에 교환자 $[x, \hat{p}]$를 적용한 결과는 다음과 같다.
$$\begin{aligned} \\
[x, \hat{p}]f
&= x(\hat{p}f) - \hat{p} (xf) = x \frac{\hbar}{i}\frac{\partial f}{\partial x} - \frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial x}(xf) \\
&= \frac{\hbar}{i}(\frac{\partial f}{\partial x} - \frac{\partial}{\partial x}(xf)) = \frac{\hbar}{i}(x\frac{\partial f}{\partial x} - x\frac{\partial f}{\partial x} - f) = -\frac{\hbar}{i}f = i\hbar f
\end{aligned}$$

따라서, $[x, \hat{p}]f = i\hbar f$이 성립하게 되고, 임의의 시험함수 $f$에 대해서 연산자 $[x, \hat{p}]$와 $ i\hbar$ 연산자는 같다. 따라서, 교환자 $[x, \hat{p}]$를 계산한 결과는 다음과 같다.

$$[x, \hat{p}] = i\hbar$$

이제, 이 교환자를 일반화된 불확정성 원리 식에 집어넣어주자.

$$\sigma_x \sigma_p \ge \frac{1}{2i} \braket{[x, \hat{p}]} = \frac{\hbar}{2}$$

오! 저번 글에서 보았던 하이젠베르크의 위치-운동량 불확정성 원리 식이 튀어나왔다. 이로써 우리는 위치-운동량 불확정성 원리를 증명하게 되었다!!
(그리고, 위치-운동량 불확정성 원리의 우변에 있는 $\frac{\hbar}{2}$는 결국 교환자와 관련있는 상수였던 것이었다!)

참고 자료

• Griffiths, D. J., & Schroeter, D. F. (2018). Introduction to quantum mechanics (3rd ed.). Cambridge University Press.

Chapter 1을 마무리하면서...

지금까지 우리는 흑체 복사, 광양자설, 물질파 이론, 파동함수, 불확정성 원리를 차례로 다루면서 양자역학이 어떻게 시작되었는지를 살펴보았다. 이제 우리는 양자역학 별로 떠나기 위한 준비를 성공적으로 마쳤다! (고생한 나 자신에게 박수!!)

이제 준비를 마쳤으므로 양자역학의 세계로 향하는 우주선을 타고 양자역학의 별로 도킹할 차례이다. 그런 의미로, 다음 글부터 시작되는 "Chapter 2: 양자 이론의 공리"에서는 양자역학의 구조를 이해하기 위해 양자역학이 성립된 수학적 기틀에 관해 다뤄볼 것이다.

잠깐, 방금 "수학"이라고 했는가? 그렇다! 양자역학은 선형대수학을 기반으로 돌아가는 세계이다. 그래서, 다음 글부터는 수식이 많이 등장할 예정이다. 하지만, 쫄지 말아라! 수식 따위는 우리의 양자역학에 대한 열정을 꺾을 수도 없으니와, 사실 까놓고 말하면 표현만 거창하고 속 의미는 초라한 경우가 많다. 어려운 수학 개념이나 복잡한 수식이 나오면 그 내용을 말로 풀어서 서술해줄 생각이니, 걱정하지 말자!

(어려워서 정 못 참겠으면 Chapter 2는 슈뢰딩거 방정식만 이해하고 넘어가도 좋다. 그러나, 나중에 나올 전자 스핀이나 분자 오비탈에 이 개념이 많이 활용되니까 되도록이면 Chatper 2를 모두 읽길 바란다.)

자, 그럼 심호흡을 하고 양자역학이 과연 어떻게 생겨먹었는지 알아보러 "양자역학 별행 우주선"을 타고 출발하자.