Schrödinger Equation | 슈뢰딩거 방정식

서론

우리는 보통 물리문제라 하면 물체가 자유낙하할 때의 속도를 구하는 것과 같이 거시 세계를 떠올린다. 그러나, 원자 수준, 더 나아가서 양자 수준에서의 물질의 법칙은 어떤 형태로 기술될까? 양자역학은 원자 세계와 같은 미시 세계에서의 원리를 탐구하는 학문​이다.

양자역학은 20세기 플랑크가 흑체 복사 법칙에 관련한 연구를 진행하면서 밝혀낸 "미시 세계에서는 에너지가 연속적이지 않고 이산적이다"는 아이디어로부터 출발한다. 이후 광전 효과, 콤프턴 산란, 쌍소멸로부터 유도된 파동의 입자성과 드 브로이의 물질파 이론으로부터 제청된 입자의 파동성으로 인해 입자와 파동은 서로 동등한 존재임을 알 수 있다. 양자역학에서는 이 "입자-파동 동등성" 개념으로부터 시작해 모든 물질을 파동함수로서 해석한다. 양자역학이 물질을 해석하는 방식인 파동함수와, 파동함수에서 우리가 실제로 써먹을 수 있는 값을 뽑아내는 연산자를 다룬 이후, 양자역학의 F=ma라고 보아도 과언이 아닐 "슈뢰딩거 방정식"에 대해 알아보자.

파동함수

위에서 언급했듯, 입자와 파동은 서로 동등한 존재이기 때문에, 모든 물질은 파동으로서 해석할 수 있다. 또한, 모든 파동은 sin. cos과 같은 파동함수로 나타낼 수 있다. 따라서, 한 방향으로 진행하고 물리적 실체를 가지는 파동함수의 일반적인 해는 다음과 같이 sin함수와 cos함수를 선형 조합한 것으로 나타낼 수 있다.

$$y=A {\rm sin} (kx-wt) + B {\rm cos} (kx-wt)$$

또한, 오일러 식($e^{i \theta } = {\rm cos} \theta + i {\rm sin} \theta $) 에 따라, 한 방향으로 진행하는 파동함수의 일반해는 다음과 같이 나타낼 수 있다. 지수함수가 삼각함수보다 적분이나 미분하기 쉽기 때문에, 우리는 이제부터 이 형태를 많이 사용할 것이다. (허수 항이 보이지만 깔끔하게 무시해주자. 고전역학적으로는 어차피 물리적 의미가 없는 항이다.)

$$y=A e^{i(kx-wt)} = A {\rm cos} (kx-wt) + iA {\rm sin} (kx-wt)$$

우리에겐 앞으로 진행하는 파동뿐만 아니라 뒤로 진행하는 파동도 있기 때문에, 선형결합을 함으로써 양방향으로 진행하는 파동 모두 고려해 다음과 같이 파동함수의 일반해를 나타낼 수 있다.

$$y(x, t) =A e^{i(kx-wt)} + B e^{-i(kx+wt)} $$

그리고, 보통 양자역학에서는 양자역학에서의 파동함수임을 강조하기 위해서 파동함수를 $y(x, t)$ 대신에 $\Psi (x, t)$(프사이)로 나타낸다. 또한, 위에서 보았던 것과 같이 양자역학에서는 고전역학에서와는 다르게 뒤에 허수 항이 붙기 때문에, 파동함수는 물리적으로 의미가 없는 수학적 표현이다. 그러나, 1926년 막스 보른에 의해 제안된 해석에 따르면, 파동함수의 절댓값 제곱($|\Psi | ^2 = \Psi ^* \Psi$)은 입자가 그 위치에서 발견될 확률 밀도 함수의 의미를 가진다.

행실 좋은(?) 파동함수이기 위해서는 파동함수가 가져야 할 여러 조건이 있다. 먼저, $\Psi$는 모든 곳에서 연속이며, 미분가능한 함수여야 한다.

또한, 파동함수의 절댓값 제곱이 확률 밀도 함수의 의미를 가지기 때문에, 파동함수의 절댓값 제곱을 전 영역에서 적분한 값이 1이어야 한다. ($\int_{-\infty}^{\infty} |\psi|^2 dx = 1$) 이를 규격화(Normality)라고 한다.

연산자, 고윳값과 교유함수

자신이 아는 연산을 한 개 떠올려 보자. 필자의 머리속에는 3을 곱하는 연산, 함수를 x에 대해 미분하는 연산($\frac{\partial}{\partial x}$)이 떠올랐다. 일반적으로 연산자는 이와 같이 자신의 뒤에 따라오는 항에 어떤 연산을 해줄 것인지 알려주는 것을 말한다.

$e^{3x}$에 $\frac{d}{dx}$를 적용하면 원래 함수의 3배가 나오는 것처럼 연산자를 적용했을 때 연산자를 적용하기 이전인 원래 함수의 상수배로 뿅 튀어나올 때가 있다. 이 때, 함수에 곱해진 상수를 그 연산자에 의한 함수의 고윳값(eigenvalue)이라고 하고, 함수를 고유함수(eigenfunction)라고 한다. 연산자 $\hat{G}$에 의한 함수 $f$의 고윳값이 $G$라고 할 때, 다음과 같이 표현된다.

$$\hat{G} f = G f$$

위에서 말했던 예시에 적용해 보면, $\frac{d}{dx}$ 연산자에 대해 $e^{3x}$는 고유함수이며, 고윳값은 3이다.

이제 이 개념을 파동함수에 접목해 보자. 일단 묻지도 따지지도 말고 파동함수의 x에 대한 2계 도함수를 구해보자. 그리고 드 브로이의 물질파 이론의 운동량 식 $p=\frac{h}{\lambda}$를 적용하면...

$$\frac{\partial^2}{\partial x^2} \Psi = -k^2 \Psi = -(\frac{2\pi}{\lambda})^2 \Psi = -(\frac{2\pi}{h} \frac{h}{\lambda})^2 \Psi = -\frac{p^2 }{\hbar^2 } \Psi $$

$$p^2 \Psi = -\hbar^2 \frac{\partial^2}{\partial x^2} \Psi $$

얼레? 위 식을 보면 $-\hbar^2 \frac{\partial^2}{\partial x^2}$를 프사이에 취하면 운동량 제곱이 튀어나온다. 따라서, 우리는 $-\hbar^2 \frac{\partial^2}{\partial x^2}$를 운동량 제곱 연산자 $\hat{p^2}$라 정의한다.

똑같은 방식으로, 이번에는 파동함수의 t에 대한 도함수를 구한 뒤, 플랑크의 에너지 양자화 가설($E=hf$)을 적용하자.

$$\frac{\partial}{\partial t} \Psi = -iw \Psi = -i(2\pi f) \Psi = -i\frac{2\pi}{h} hf \Psi = -i \frac{E}{\hbar} \Psi = \frac{E}{i\hbar} \Psi $$

$$E \Psi = i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \Psi$$

또, 위 식을 보면 $ i \hbar \frac{\partial}{\partial t}$를 프사이에 취하면 에너지가 튀어나온다. 따라서, 우리는 $ i \hbar \frac{\partial}{\partial t}$를 에너지 연산자 $\hat{E}$라 정의한다.

시간 의존 슈뢰딩거 방정식

일반적으로 계의 총 에너지 E는 운동 에너지 T와 퍼텐셜(위치) 에너지 U의 합으로, 다음이 성립한다.

$E = T + U$

자, 이제 양 변에 프사이를 살짝 곱해주고, 운동 에너지 관계식($T = \frac{p^2}{2m}$)를 조심스럽게 적용해보자.

$$E\Psi = T\Psi + U\Psi$$

$$E\Psi = \frac{p^2}{2m} \Psi + U\Psi$$

헐, 위에서 구했던 에너지 연산자와 운동량 제곱 연산자가 머리 속에서 떠오른다! 어서 넣어보자.

$$i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \Psi = -\frac{\hbar ^ 2}{2m} \frac{\partial ^2}{\partial x^2}\Psi + U\Psi$$

이걸 우리는 시간 의존 슈뢰딩거 방정식(Time-Dependent Schrödinger Equation)이라고 부른다. 여기서, 적용했을 때 에너지를 뱉어주는 $-\frac{\hbar ^ 2}{2m} \frac{\partial ^2}{\partial x^2} + U$ 연산자를 해밀토니언 연산자(Hamiltonian Operator) $\hat{H}$ 로 정의한다.

$$E \Psi = -\frac{\hbar ^ 2}{2m} \frac{\partial ^2}{\partial x^2}\Psi + U\Psi = \hat{H} \Psi$$

이제 보니 슈뢰딩거 방정식이란 양자역학 세계에서의 에너지 관계를 나타낸 방정식이었다!

사실 물리적인 의미가 없는 양자역학 파동함수에 에너지를 고전역학적으로 표현해도 되는지 분명하지 않기 때문에, 슈뢰딩거 방정식의 유도 과정은 논리적으로 뭐가 많이 이상하다. 우리가 고전 역학에서 F=ma를 엄밀하게 증명하지 않는 것 처럼, 슈뢰딩거 방정식을 기존 고전 역학에서 유도되었다기 보다는 그 자체로 양자역학의 기본 원리로 받아들어야 된다.

(유도 과정을 $\Psi(x, t) =A e^{i(kx-wt)} + B e^{-i(kx+wt)}$라는 답지가 있을 때 문제지를 추론하는 느낌으로 생각해도 좋다.)

시간 비의존 슈뢰딩거 방정식

파동함수를 다룰 때, t와 x 변수가 파동함수에 얼키고설켜있으면 풀기 매우 귀찮고 머리가 펑펑 터질 것 같다. 따라서, 우리는 보통 파동함수가 x와 t에 대해서 변수분리 가능하다고 가정한다. 이를 식으로 표현하면, 다음과 같이 나타낼 수 있다. (여기서 $\psi(x)$를 공간항, $\phi(t)$를 시간항으로 부른다. 필자가 LATEX를 입력하기 귀찮을 때 지금부터 $\Psi$를 라지 프사이, $\psi$를 스몰 프사이, $\phi$를 피로 부를 거다.)

$$\Psi(x, t) = \psi(x) \phi(t)$$

이제 위 변수분리된 파동함수를 시간 의존 슈뢰딩거 방정식에 넣어보자.

$$i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \psi\phi = -\frac{\hbar ^ 2}{2m} \frac{\partial ^2}{\partial x^2}\psi\phi + U\psi\phi$$

$\psi$는 x에 관한 함수이므로 $\frac{\partial}{\partial t}$ 밖으로 나올 수 있고, $\phi$는 t에 관한 함수이므로 $\frac{\partial}{\partial x}$ 밖으로 나올 수 있다.

$$i\hbar \psi \frac{\partial}{\partial t} \phi = -\frac{\hbar ^ 2}{2m} \phi \frac{\partial ^2}{\partial x^2}\psi + U\psi\phi$$

양변을 라지 프사이로 나눠주자.

$$i\hbar \frac{1}{\phi} \frac{\partial}{\partial t} \phi = -\frac{\hbar ^ 2}{2m} \frac{1}{\psi} \frac{\partial ^2}{\partial x^2}\psi + U$$

눈을 크게 뜨고 보면 좌변과 우변에 있는 함수의 변수가 다른데 x, t에 무관하게 항상 같다는 개소리를 하고 있다. 따라서, 좌변과 우변이 같기 위해서는 양변이 상수로 같아야 한다. 이 상수를 E라고 두자. (여기서 E는 "헤밀토니언"이라고 하며, 고전역학적으로 에너지를 나타낸다.)

$$i\hbar \frac{1}{\phi} \frac{\partial}{\partial t} \phi = -\frac{\hbar ^ 2}{2m} \frac{1}{\psi} \frac{\partial ^2}{\partial x^2}\psi + U := E$$

우변항만 취하고, 양변에 스몰 프사이를 곱해주자.

$$-\frac{\hbar ^ 2}{2m} \frac{1}{\psi} \frac{\partial ^2}{\partial x^2}\psi + U = E$$

$$-\frac{\hbar ^ 2}{2m} \frac{\partial ^2}{\partial x^2}\psi + U\psi = E\psi$$

위와 같이 시간항을 포함하지 않는 형태를 시간 비의존 슈뢰딩거 방정식(Time-Independent Schrödinger Equation)이라고 한다. 시간 비의존 슈뢰딩거 방정식은 시간항을 고려하지 않기 때문에, 정상 상태의 파동함수를 다루는 방정식이다.

참고 문헌

Beiser, A. (2003). Concepts of modern physics (6th ed.). McGraw-Hill.

위키백과 - 슈뢰딩거 방정식 (https://ko.wikipedia.org/wiki/​슈뢰딩거_방정식)