Invertibility의 필요충분조건

수2 수업을 듣다 보면 $n \times n$ 행렬 $A$에 대해 $\det(A)\ne 0$와 역행렬의 존재는 동치라는 것을 알 수 있다. 이 외에도 선형대수학에 더욱 깊게 들어가면 아이겐 밸류로 $0$을 갖지 않는 것과 커널이 $\{0\}$이라는 것 또한 이와 동치이다. 필자는 지금까지 그냥 이를 받아들이고 살았는데, 이제 와서 (갑자기) 왜 이런 명제가 성립하는지 알고 싶어졌다. 지금부터 이 명제를 증명해보겠다.

Determinant와 Invertibility의 관계

증명하고자 하는 공식은 다음과 같다.

\[\det(A)\ne 0 \iff\exists A^{-1}\in M_n(F)\]

($\implies$)

먼저 $\det(A)\ne 0$일 때 $A$의 역행렬이 존재하는 것부터 증명하겠다.

$\det(A)\ne 0$이라고 가정하자. 이때 수반행렬의 성질에 의해

\[A\operatorname{adj}(A)=\operatorname{adj}(A)A=\det(A)I_n\]

$\det(A)\ne 0$이기 때문에 양변을 $\det(a)\ne 0$로 나누면

\[A\left(\frac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A)\right)=\left(\frac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A)\right)A=I_n\]

여기서 \[B=\frac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A)\]로 정의하면 $AB=BA=I_n$으로 $A^{-1}=B$이기에 $A$의 역행렬이 존재한다.

그러므로

\[\det(A)\ne 0 \implies \exists A^{-1}\in M_n(F)\]

($\impliedby$)

$A^{-1}$가 존재한다고 가정하자. 그러면
\[AA^{-1}=I_n\]

양변에 determinant를 취하면
\[\det(AA^{-1})=\det(I_n)\]

여기서 determinant의 곱셈 성질에 의해
\[\det(A)\det(A^{-1})=1\]

$\det(A)$가 0일 수 없으므로 $\det(A)\ne0$

그러므로
\[\det(A)\ne 0 \impliedby\exists A^{-1}\in M_n(F)\]

둘을 종합해보면, 결국 $\det(A)\ne 0 \iff\exists A^{-1}\in M_n(F)$, 즉 $\det(A)\ne0$와 $A ^{-1}$가 존재함은 동치가 된다.

Eigenvalue와 Determinant의 관계

증명하고자 하는 공식은 다음과 같다.

\[0\notin \sigma(A)\iff \det(A)\ne0\]

하지만 필요충분조건이기 때문에 양변을 부정한 다음과 같은 식 또한 성립한다.

\[0 \in \sigma(A)\iff \det(A)=0\]

($\implies$)

$0\in \sigma(A)$라고 가정하자. 그러면 어떤 $x\ne0$가 존재하여 \[Ax=0x=0\]
따라서 $Ax=0$이 자명하지 않은 해를 가지므로 $A$의 열벡터들은 선형종속이다. 그러므로
\[\det(A)=0\]

($\impliedby$)

$\det(A)=0$이라고 하자. 그러면 $A$의 열벡터들이 선형종속이기 때문에 어떤 $x\ne0$가 존재하여
\[Ax=0=0x\]

그러므로 0은 A의 아이겐 밸류이다.

둘을 종합해보면, 결국 $0 \in \sigma(A)\iff \det(A)=0$, 즉 $0\notin \sigma(A)\iff \det(A)\ne0$이다.

Kernal과 Eigenvalue의 관계

증명하고자 하는 공식은 다음과 같다.

\[\ker(A)=\{0\}\iff 0\notin \sigma(A)\]

이번에도 필요충분조건이기 때문에 양변을 부정한 다음 식이 성립한다.

\[\ker(A)\ne\{0\}\iff 0\in\sigma(A)\]

이는 커널의 정의만 잘 살펴보아도 매우 쉽게 증명할 수 있다. 커널의 정의는 $\ker(A)=\{x \mid Ax=0\}$이다.

그러므로
\[x\in\ker(A)\iff Ax=0\]

따라서
\[\exists x \ne 0 \text{ s.t. } x\in\ker(A) \iff \exists x\ne 0 \text{ s.t. } x \in Ax=0\]

$\exists x\ne 0 \text{ s.t. } x \in \ker(A) \iff \ker(A)\ne\{0\}$이고 $\exists x \ne 0 \text{ s.t. } Ax=0 \iff 0\in\sigma(A)$이기 때문에 결국 $\ker(A)\ne\{0\}\iff 0\in\sigma(A)$, 즉 $\ker(A)=\{0\}\iff 0\notin \sigma(A)$이다.

이로서 4가지 조건이 모두 동치라는 것을 알 수 있다. 증명하기 어려워 보이지만, 실제로는 정의만 이용하여 매우 쉽게 증명할 수 있다.