양자화학 고유 상태와 양자 중첩 연습문제

양자화학 시리즈 8편 고유 상태와 양자 중첩 글의 연습문제입니다.

1. 다음 고유상태와 관련된 명제를 증명하시오.

비축퇴 스펙트럼을 갖는 서로 다른 두 Hermitian 연산자 $\hat{Q}$와 $\hat{R}$에 대해, $\hat{Q}$의 모든 고유 상태가 $\hat{R}$의 고유 상태일 필요충분조건은 $[\hat{Q}, \hat{R}] = 0$이다.

(단, 비축퇴 스펙트럼이란 모든 고윳값에 대응하는 고유공간의 차원이 1인 경우를 말한다. 즉, 각 고윳값에 대응하는 고유상태는 상수배를 제외하면 유일하다.)

2. 유명한 연속 스펙트럼의 예시 중 하나인 자유입자의 운동량에 대해서 디랙 직교규격화가 도출되는 과정을 알아보자.
   1. 운동량 연산자의 위치 표현 $\hat{p} = \frac{h}{i} \frac{\partial}{\partial x}$의 고유함수를 구하시오.
   2. 운동량의 서로 다른 고윳값 $p$, $p'$를 갖는 고유상태 $\ket{p}$, $\ket{p'}$에 대해, $\braket{p' | p}$를 위치에 대한 적분식으로 표현하고, 이 값이 디랙 델타 함수 꼴로 도출됨을 설명하시오.
      (단, $\delta (x) = \frac{1}{2\pi} \int ^{\infty} _{-\infty} e ^{ikx} dk$가 성립한다.)

3. 연속 스펙트럼을 갖는 Hermitian 연산자 $\hat{\xi}$의 고유상태를 $\ket{\xi}$, 고윳값을 $\xi$라 하자. 또한 임의의 양자 상태 $\ket{\Psi}$가 다음과 같이 전개된다고 하자.
   $$\ket{\Psi} = \int_{-\infty}^{\infty} c(\xi)\ket{\xi}\,d\xi $$
   1. 위 전개식에 수반 연산자($\dagger$)을 취하여 $\bra{\Psi}$를 $c(\xi)$를 이용하여 나타내시오.
   2. $\braket{\hat{\xi}} = \bra{\Psi}\hat{\xi}\ket{\Psi}$가 다음과 같이 정리됨을 보이시오.
      $$\braket{\hat{\xi}} = \int_{-\infty}^{\infty} |c(\xi)|^2\,\xi\,d\xi$$
   3. 위 b번 결과를 활용하여, $|c(\xi)|^2$의 물리적 의미를 설명하시오.

4. 다음 명제의 참/거짓을 판별하시오. 참인 경우에는 명제가 성립함을 증명하고, 거짓인 경우에는 명제가 틀렸음을 증명하거나 반례를 제시하시오.

서로 다른 두 위치 기저에 대한 파동함수 $\psi (x)$, $\phi (x)$는 반드시 서로 다른 양자 상태를 나타낸다.

5. 임의의 시간 t에서 해밀토니안 고유상태 $\ket{n}$의 선형 결합으로 다음과 같이 표현된 양자 상태 $\ket{\Psi (t)}$를 생각하자.
   $$\ket{\Psi (t)} = \sum _{n} c_n e ^{-iE_n t_f / \hbar} \ket{n}$$
   임의의 시간 t에 대한 해밀토니안 기댓값 $\braket{\hat{H}}$를 구하시오. 그리고, 해밀토니안 고유함수의 선형 결합으로 나타난 양자 상태의 해밀토니안 기댓값은 시간에 관계없이 일정함을 확인하시오.

6. 다음과 같이 시간 $t = 0$에서 두 해밀토니안 고유상태 $\ket{1}$, $\ket{2}$, $\ket{3}$의 선형 결합으로 나타난 양자 상태를 관찰자 A가 관찰하는 상황을 생각하자.
   $$\ket{\Psi (0)} = 0.5 \ket{1} + c_{2} \ket{2} + \frac{1}{\sqrt{2}} \ket{3}$$
   물음에 답하시오.
   1. 규격화 조건을 활용하여 $c_{2}$를 구하시오.
   2. 임의의 시간 t에서의 양자 상태 $\ket{\Psi (t)}$를 $\ket{1}$, $\ket{2}$, $\ket{3}$의 선형 결합으로 구하시오.
   3. 어떤 다른 관찰자 B가 $t = t_f$ 시점을 기준으로 하는 새로운 시간 좌표계에서 그 양자 상태를 관측할 때, 관찰자 B의 기준에서 측정한 양자 상태$\ket{\Psi (t)}_B$를 $\ket{1}$, $\ket{2}$, $\ket{3}$의 선형 결합으로 구하시오.
   4. 관찰자 A, 관찰자 B의 관점에서 측정한 양자 상태의 각 해밀토니안 고유상태에 대한 확률 진폭을 각각 구하고, 두 값을 비교하시오.

7. 상수 L과 자연수 n에 대해, $0 \leq x \leq L$ 구간에서 퍼텐셜이 0이고, 나머지 구간에서 퍼텐셜이 무한대인 어떤 양자 입자의 n번째 해밀토니안 고유상태 $\ket{n}$의 위치 표현이 다음과 같다.
   $$\braket{x|n} = \psi_{n} (x) = \left\{\begin{matrix}
   \sqrt{\frac{2}{L}} \text{sin} (\frac{n\pi}{L} x) & (0 \leq x \leq L) \\
   0 & (x > L, x < 0) \\
   \end{matrix}\right.$$
   물음에 답하시오.
   1. $\ket{n}$의 해밀토니안 고윳값을 n과 L에 관한 식으로 구하시오.
   2. $t = 0$에서 $L ^2$ 공간 내의 양자 상태 $\ket{\Psi (t)}$의 위치 표현이 다음과 같다.
      $$\braket{x|\Psi (0)} = \left\{\begin{matrix}
      3x(L-x) & (0 \leq x \leq L) \\
      0 & (x > L, x < 0) \\
      \end{matrix}\right.$$
      1. $\braket{x|\Psi (0)}$를 정규화하여 정규화된 $\ket{\Psi (0)}$를 구하시오.
      2. 정규화된 $\ket{\Psi (0)}$를 $\ket{n}$의 선형 조합으로 다음과 같이 나타낼 때, $\ket{n}$의 $\ket{\Psi(0)}$에 대한 기여도 $c_{n}$을 n에 관한 식으로 구하시오.
         $$\ket{\Psi (0)} = \sum_{n} c_n \ket{n}$$
      3. 임의의 시간 $t$에서의 양자 상태 $\ket{\Psi (t)}$를 $\ket{n}$의 선형 결합으로 나타내시오.
   3. 임의의 시간 $t$에서 측정한 위 b번의 정규화된 양자 상태 $\ket{\Psi (t)}$의 해밀토니안 기댓값 $\braket{\hat{H}}$을 구하시오.
   4. 임의의 시간 $t$에서 b번의 정규화된 양자 상태 $\ket{\Psi (t)}$의 해밀토니안을 측정하였을 때, $\ket{1}$의 해밀토니안 고윳값이 측정될 확률을 구하시오.