시리즈 | Quantum Chemistry - 8. 고유 상태와 양자 중첩

지난 글에서 우리는 '힐베르트 공간($L^2$ 공간)'과 'Braket 표기법'을 활용해서, 위치나 운동량과 같은 물리량별로 산재되어있는 한 양자 계의 파동함수들을 하나의 '벡터'로써 묶는 방법을 배웠었다. 우리가 지금까지 현상적으로 알아보았었던 현상들이 수학적으로 묶이면서 놀라워했던 독자도 있을 것이고, 현대물리학을 막 처음 배웠던 작년의 필자처럼 머리가 지끈지끈 했던 독자도 있을 것이다.

많은 독자들이 지난 글을 읽다가, 이런 불만이 생겼을 것이다.

그래서 이딴 수학덩어리 외계어를 굳이 왜 배우는데??

나도 비슷한 의문을 가졌었다. 지난 글과는 상관없지만, 전에 5.1편 하이젠베르크의 불확정성 원리 글에서 다뤘었던 파군을 푸리에 변환을 써서 적분기호가 난무하는 함수로 만드는 과정을 보고 경악을 금치 못했었다.

각설하고, 나는 위 질문에 대한 답을 한 줄(두 줄인가?)로 정리할 수 있다.

양자역학의 중요한 성질인 양자 중첩을 수학의 언어로 깔☆끔하게 설명해주기 때문

양자역학에 관심이 있는 독자라면 양자 중첩이란 말을 한번쯤 들어봤을 것이다. 바로 슈뢰딩거의 고양이를 설명할 때 말이다! 슈뢰딩거 고양이에서는 '측정'할 때 파동함수가 붕괴되어서 산 고양이와 죽은 고양이가 결정된다고 말하는데, 그러면 측정이 과연 양자역학에서 가지는 의미는 무엇인지에 관해 궁금해진다.

이번 글에서는 측정이 무엇인지부터 시작해서, 양자 중첩을 설명하기 위한 준비물인 고유상태를 다루고, 양자 중첩을 본격적으로 살펴본 뒤 양자역학에서의 "측정"의 의미를 파헤쳐보자!

측정과 고유상태

측정과 불확정성

전에 5.1편 하이젠베르크의 불확정성 원리 글에서 측정이란 "어떤 한 현상에 대한 여러 정보를 구하는 행위"라고 했었다. 그리고, 이 측정 행위에서 오차와 같이 정확하지 않은 정도를 불확정성이라고 했었다. 또한, 불확정성은 보통 표준편차 $\sigma _A$나 물리량의 범위 $\Delta A$로 정의하고, 다음과 같은 방법으로도 구할 수 있다고 배웠다.

$$\sigma _A ^{2}= \braket{A ^{2}} - \braket{A} ^{2} = \braket{(\hat{A} - \braket{A}) ^{2}}$$

불확정성 관련해서 5.2편 일반화된 불확정성 원리 글에서, 서로 교환되지 않는 연산자의 관계에 있는 두 물리량은 서로 동시에 정확히 측정할 수 없고, 두 불확정성의 곱은 다음과 같은 일정 상수 이상의 값을 갖는다고 배웠다.

$$\sigma_A \sigma_B \ge \frac{1}{2i} \braket{[\hat{A}, \hat{B}]}$$

결정된 상태와 고유상태

그러면, (불확정성 원리 때문에 모든 물리량에 대해 존재하는 건 아니지만) 측정을 하더라도 항상 같은 값을 주는 양자 상태 $\ket{\psi}$는 없을까? 즉, 불확정성이 0인 상태는 없을까?

즉, 그 양자 상태 $\ket{\psi}$는 관측 가능한 물리량 $A$에 대해 측정할 때 $a$라는 값만을 주는 결정된 상태이다. ​결정된 상태를 구하기 위해서 불확정성의 정의부터 출발하자.

$$\sigma _A ^{2} = \braket{(\hat{A} - \braket{A}) ^{2}} = 0$$

위 식을 Braket 표기법으로 다시 쓰면 다음과 같다.

$$\begin{aligned}
& \bra{\psi}(\hat{A} - \braket{A}) ^{2}\ket{\psi} = 0 \\
& \bra{\psi}(\hat{A} - \braket{A})(\hat{A} - \braket{A})\ket{\psi} = 0
\end{aligned}$$

Bra는 Ket의 데거($\dagger$) 관계이기 때문에, 다음과 같이 쓸 수 있다.

$$\ket{\psi}^\dagger (\hat{A} - \braket{A})(\hat{A} - \braket{A})\ket{\psi} = 0$$

$\hat{A}$는 관측 가능한 물리량인 A에 해당하는 연산자이므로, Hermitian 연산자이다. 따라서, $(\hat{A} - \braket{A})$ 하나를 Bra 부분으로 넘겨서(데거 안으로 넣어서) 다음과 같이 쓸 수 있다.

$$\begin{aligned}
& ((\hat{A} - \braket{A})\ket{\psi})^\dagger (\hat{A} - \braket{A})\ket{\psi} = 0
\end{aligned}$$

$(\hat{A} - \braket{A})\ket{\psi}$에 해당하는 양자 상태를 $\ket{\phi}$로 치환한다면, 위 식은 다음과 같이 쓸 수 있다.

$$\begin{aligned}
& \ket{\phi}^\dagger \ket{\phi} = 0 \\
& \braket{\phi|\phi} = 0
\end{aligned}$$

Braket 연산도 양자 상태의 내적을 나타낸다. 이 관점에서 위 식을 잘 보면, 똑같은 양자 상태를 내적한 결과가 0이 된다. 내적의 4번째 공리인 $\braket{f|f} = \mathbf{0} \Leftrightarrow \ket{f} = \mathbf{0}$에 따라, 결국 $\ket{\phi} = (\hat{A} - \braket{A})\ket{\psi} = \mathbf{0}$이 된다!

$$\begin{aligned}
& \ket{\phi} = (\hat{A} - \braket{A})\ket{\psi} = \mathbf{0} \\
& \hat{A}\ket{\psi} - \braket{A}\ket{\psi} = \mathbf{0} \\
& \hat{A}\ket{\psi} = \braket{A}\ket{\psi}
\end{aligned}$$

$\ket{\phi}$ 양자 상태의 모든 측정 결과가 $a$로 일치하기 때문에, 그 평균값 $\braket{A}$도 그 값 $a$이랑 똑같다고 볼 수 있다. 즉, $\braket{A} = a$이다.

$$\hat{A}\ket{\psi} = a\ket{\psi}$$

어라? 과거의 기억을 잘 더듬어보자..... 뭔가 4편 파동함수와 연산자 글에서 본 고유함수랑 느낌이 비슷하다! 그때는 고유함수와 고유값을 이렇게 정의했었다.

연산자를 적용하기 이전인 원래 함수의 상수배로 튀어나오면, 함수에 곱해진 상수를 그 연산자에 의한 함수의 고윳값(eigenvalue)이라고 하고, 함수를 고유함수(eigenfunction)라고 한다.

$$\hat{G} f = G f$$

그때는 파동함수에 대해 고유'함수'를 정의했고, 이번에는 양자 상태 버전 고유 뭐시기저시기가 나왔다. 그래서, 살짝 이름 깔맞추기 같은 느낌으로, 다음과 같은 양자 상태를 연산자 $\hat{A}$에 대해 고윳값 $a$를 가지는 고유 상태라고 한다.

$$\hat{A}\ket{\psi} = a\ket{\psi}$$

즉, 관측 가능한 물리량 $A$에 대한 결정된 상태 $\ket{\psi}$는 그 연산자 $\hat{A}$에 대한 고유상태다! 또한, 다시 말해서 $\ket{\psi}$의 측정 결과값은 그 고유상태의 고윳값 형태로 튀어 나온다는 사실을 알 수 있​다.

고유상태의 완비성과 양자 상태의 기저

앞에서 관측가능량의 고유상태는 그 물리량에 대한 결정된 상태의 의미를 가진다고 했었다. 그런데, 이 글을 시작하면서 고유 상태들이 양자 중첩과 밀접하게 관련되어 있다고 했는데, 이 결정된 상태들이 양자 중첩과 어떤 관련이 있는지 궁금해진다.

지금 살짝 스포하자면, 결정된 상태인 고유상태들은 양자 중첩 상황에서 일반적인 양자 상태를 구성하는 재료와 비슷한 '기저' 역할을 한다. 이번 문단에서는 다양한 연산자의 고유상태들을 알아보고, 이 고유상태들이 왜 일반적인 양자 상태의 기저를 이루는지 알아보자!

들어가기에 앞서, 관측가능량에 대응되는 연산자인 Hermitian 연산자의 고윳값은 위치나 운동량과 같이 연속적일 수도 있고(연속 스펙트럼), 플랑크 흑체복사의 에너지 양자화 가설처럼 값이 불연속적일 수도 있다(불연속 스펙트럼). 고윳값이 불연속적인 경우에는 고유함수(고유상태들의 위치 표현)는 행실 좋은 파동함수이고, 물리적으로 실현되는 상태를 의미한다.

그러나, 고윳값이 연속인 경우에는 아쉽게도 고유함수는 규격화할 수 없다.

샤갈!!!!

그래서, 연속 스펙트럼은 불연속 스펙트럼보다 훨씬 어렵다. 일단 쉬운 경우인 고윳값이 불연속인 불연속 스펙트럼 경우부터 살펴보자.

불연속 스펙트럼

불연속 스펙트럼 상의 Hermitian 연산자의 고유상태들은 힐베르트 공간의 기저가 됨을 증명하려면 Hermitian 연산자의 고유상태들로 이루어진 집합이 선형 독립이고 $L ^2$ 공간을 span함을 보여야 한다.

먼저, 선형 독립임을 보이기 위해 앞에서 보았던 파동함수의 성질들을 복습해보자. 파동함수의 규격성에 따르면, 같은 파동함수의 내적 값은 1이며, 불연속 스펙트럼 상의 Hermitian 연산자의 서로 다른 두 고유함수의 내적 값은 0이다.

$$\text{규격성: } \braket{\psi|\psi} = \int_{-\infty}^{\infty} |\psi|^2 dx = \int_{-\infty}^{\infty} \psi^{*} (x) \psi (x) dx = 1$$

$$\text{직교성: } \braket{\psi_{m}|\psi_{n}} = \int_{-\infty}^{\infty} \psi_{m} ^{ *} (x) \psi_{n} (x) dx = 0 \, (단, \; m \ne n)$$

위 Braket 표기를 파동함수가 아닌 고유 상태로 해석해본다면, 불연속 스펙트럼 상의 Hermitian 연산자의 서로 다른 두 고유 상태의 내적은 0으로, 직교한다. 그리고, 같은 고유 상태의 내적은 1이므로, 벡터의 노름은 같은 벡터의 내적의 양의 제곱근이므로, 고유 상태의 노름이 1이라고 말할 수 있다.

따라서, 불연속 스펙트럼 상의 Hermitian 연산자의 고유상태들을 모아둔 집합을 생각해보면, 그 집합의 각 원소들은 서로 직교하며, 노름이 1이기 때문에 정규직교집합(orthonormal set)이다. 따라서, 아래 집합 B가 정규직교집합이므로 B는 선형 독립이다.

$$B = \{ \ket{\psi_1}, \ket{\psi_2},\ket{\psi_3}, \ket{\psi_4}, ...\} : \text{정규직교집합}$$

이제, $\text{span}(B) = L ^{2}$임을 증명해야 한다. 즉, 양자 상태는 위 불연속 스펙트럼 상의 Hermitian 연산자의 고유상태들의 선형 결합으로 표현됨을 보이는 것이 목표다.

이를 보이기 위한 불연속 스펙트럼을 갖는 Hermitian 연산자의 고유상태들에 대해 성립하는 중요한 성질이 완비성이다. 완비성이란 힐베르트 공간 안의 임의의 함수는 고유함수의 선형결합으로 나타낼 수 있다는 성질이다. 양자역학에서는 이러한 완비성을 다음과 같은 완비성 관계식으로 나타낸다.

$$\hat{I} = \sum_{n} \ket{\psi_n}\bra{\psi_n}$$

완비성 관계식은 '스펙트럼 정리'라는 이상한 정리로부터 유도되지만, 그 과정은 길고 수학적인 내용이 꽤 많다. 따라서 본문에서는 결과만 사용하고, 아래 펼쳐서 보기 형태로 살포시 남겨 두었다. 궁금한 독자들만 조심스럽게 읽어보자.

이제, 완비성 관계식을 활용해서 임의의 양자상태 $\ket{\psi}$에 대해 선형 결합 꼴을 건설하기 위해 양변의 오른쪽에 $\ket{\psi}$를 곱해주자. (곱하는 방향에 주의하도록 하자. 벡터는 행렬과도 같아서 곱셈 순서를 바꿀 수 없다.)

$$\hat{I}\ket{\psi} = (\sum_{n} \ket{\psi_n}\bra{\psi_n} )\ket{\psi}$$

$$\ket{\psi} = \sum_{n} \ket{\psi_n}\bra{\psi_n}\ket{\psi} = \sum_{n} \ket{\psi_n}\braket{\psi_n | \psi}$$

$\braket{\psi_n | \psi}$는 내적값이므로 상수이기 때문에, $\ket{\psi_n}$ 앞으로 이동해줄 수 있다.

$$\ket{\psi} = \sum_{n} \ket{\psi_n}\bra{\psi_n}\ket{\psi} = \sum_{n} \braket{\psi_n | \psi} \ket{\psi_n}$$

오! 위 식을 잘 보면 $L ^2$ 공간 내의 모든 벡터 $\ket{\psi}$가, 계수가 $\braket{\psi_n | \psi}$인 B의 원소의 선형 결합으로 표현된다. 이로써 $\text{span}(B) = L ^{2}$이 증명되었다!

이로써 B가 선형 독립이고 $\text{span}(B) = L ^{2}$가 성립하므로 불연속 스펙트럼의 Hermitian 연산자의 고유상태들의 집합인 B는 양자 상태가 존재하는 공간인 $L ^2$의 기저이다!

연속 스펙트럼

이번에는 연속 스펙트럼​의 경우를 살펴보자. 사실 연속 스펙트럼 중 우리가 저번 글에서 살펴본 가장 대표적인 사례가 있다. 바로 위치 기저다! $x = x_0$에서 위치 기저의 위치 표현은 다음과 같았다.

$$\braket{x|x_0} = \delta (x - x_0)$$

연속 스펙트럼의 불연속 스펙트럼과는 구분되는 가장 중요하고, 치명적인(?) 특징은 연속 스펙트럼 상의 고유상태는 절댓값 제곱에 대한 적분이 발산해서 규격화 불가능하다. 실제로, $\ket{x_0}$ 또한 제곱 적분이 발산한다.

그래서, 일반적으로 불연속 스펙트럼에서 사용했던 $\braket{\psi_n|\psi_m} = \delta _{nm}$와 같은 일반적인 크로네커 직교규격화를 사용할 수 없다.. 그래서, 불연속 스펙트럼의 직교규격성을 표현할 때는 디랙 델타 함수를 활용한 디랙 직교규격화를 사용한다. (디랙 직교규격화가 도출되는 과정은 연습문제에서 운동량 기저의 예시로 알아봅시다!)

$$\braket{\psi_n|\psi_m} = \delta _{nm} \Longrightarrow \braket{\xi ' | \xi ''} = \delta(\xi ' - \xi '')$$

실제로 디랙 델타 함수는 0이 아닌 값에서는 함숫값이 0이므로, $\xi ' \ne \xi ''$이면 $\xi ' - \xi '' \ne 0$이 되므로, $\braket{\xi ' | \xi ''} = 0$이 되어 직교성을 잘 대변해준다는 점을 알 수 있다.

그리고, 연속 스펙트럼에서도 스펙트럼 정리가 비슷하게 성립하기 때문에, 연속 스펙트럼의 Hermitian 연산자의 고유상태들도 완비성 관계식을 만족한다. 그러나, 연속 스펙트럼은 고윳값이 연속해서 있기 때문에 이산적인 합을 나타내는 시그마($\sum$)가 적분($\int$)로 바뀐다.

$$\hat{I} = \sum_{n} \ket{\psi_n}\bra{\psi_n} \Longrightarrow \hat{I} = \int ^{\infty} _{-\infty} \ket{\xi}\bra{\xi} d\xi$$

그리고, 위에서 불연속 기저때 한 것과 비슷하게 위 완비성 관계식 각 변의 오른쪽에 $\ket{\psi}$를 곱해주면, 다음과 같이 $L ^2$ 공간 내의 모든 벡터 $\ket{\psi}$를 연속 스펙트럼의 고유상태의 연속적인 선형결합으로 표현하는 방법을 구할 수 있다.

$$\ket{\psi} = \sum_{n} \braket{\psi_n | \psi} \ket{\psi_n} \Longrightarrow \ket{\psi} = \int ^{\infty} _{-\infty} \braket{\xi|\psi} \ket{\xi} d\xi$$

즉, 불연속 스펙트럼에서는 합으로, 연속 스펙트럼에서는 적분으로 일반적인 양자 상태를 전개할 수 있다. 결국 어떤 경우든 모든 양자 상태는 고유상태들의 중첩으로 표현된다는 점은 변하지 않는다.

사실, 지난 글에서 "다음 주에 공개합니다!!"라고 미뤘던 파동함수로부터 양자 상태를 건설하는 것도 위에서 말했던 완비성을 위치 기저에 대해 사용해주면 된다.

$$\ket{\psi} = \int \braket{x|\psi} \ket{x} dx = \int \psi (x) \ket{x} dx$$

양자 중첩

양자 중첩

앞에서 관측가능량에 대한 고유상태들은 힐베르트 공간의 기저를 이룬다는 사실을 살펴보았다. 따라서 완비성 관계식에 의해 임의의 양자 상태는 이 고유상태들의 선형결합으로 나타낼 수 있다.

$$\text{불연속 스펙트럼: } \,\ket{\psi} = \sum_{n} c_n \ket{\psi_n}, \,\,\, c_n = \braket{\psi_n | \psi}$$

$$\text{연속 스펙트럼: }\, \ket{\psi} = \int ^{\infty} _{-\infty} c(\xi) \ket{\xi} d\xi , \,\,\, c(\xi) = \braket{\xi|\psi}$$

($\braket{\psi_n | \psi}$, $\braket{\xi|\psi}$는 일일히 적기 귀찮으니까, 줄여서 $c_n := \braket{\psi_n | \psi}$, $c(\xi) = \braket{\xi|\psi}$로 치환하여 표기하였다.)

그러면 위 결과는 어떤 의미가 있을까? 하나의 양자 상태가 여러 고유상태들의 선형 결합으로 표현되어 있음을 알 수 있다. 즉, 양자 상태는 하나의 고유상태만으로 이루어져 있는 것이 아니라, 여러 고유상태가 동시에 포함된 상태인 것이다.

이와 같이 하나의 양자 상태 $\ket{\psi}$는 측정 전에 여러 고유상태들이 동시에 공존하고 있는 상태라는 성질을 양자 중첩이라고 한다.

파동함수의 시간 발전

지난 글에서 우리가 파동함수를 $L ^2$ 공간 내의 벡터인 양자 상태로 올릴 때는 공간항 파동함수 $\psi (x)$만 올렸다. 이는 시간을 명시하지 않은 상태에서의 양자 상태를 나타낸 것으로, 실제 양자 상태는 시간에 따라 계속 변화한다. 따라서, 우리는 임의의 시간에 대해 파동함수가 어떻게 변하는지에 대해서 알아봐야 한다.

6.1편 슈뢰딩거 방정식과 에렌페스트 정리 글에서 보았듯이, 시간 의존 슈뢰딩거 방정식을 만족하는 해들 중 정상상태인 해는 시간항 $\psi (x)$와 공간항 $\phi (t)$의 곱으로 나타난다. 여기서, $\psi (x)$는 시간 비의존 슈뢰딩거 방정식을 만족하고, $\phi (t)$는 $e ^{-iEt / \hbar}$로 기술된다.

$$\Psi (x, t) = \psi (x) \phi (t) = \psi (x) e ^{-iEt / \hbar}$$

따라서, 양자 상태의 시간 발전을 고려한다면, 에너지 고윳값이 $E$인 에너지 고유상태의 위치 표현을 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$$\braket{x|\Psi (t)} = \Psi(x, t) = \psi(x) e ^{-iEt / \hbar}$$

만약 양자 상태가 하나의 에너지 고유상태가 아니라, 여러 에너지 고유상태의 중첩이라면, 각 고유상태는 자신의 에너지 $E_n$에 대응되는 서로 다른 시간 위상인 $e ^{-iE_n t / \hbar}$를 가진다. 따라서, 다음과 같이 쓸 수 있다.

$$\text{불연속 스펙트럼: } \,\, \ket{\Psi (t)} = \sum_{n} c_n e ^{-iE_n t / \hbar} \ket{\psi _n}$$

$$\text{연속 스펙트럼: } \,\, \ket{\Psi (t)} = \int c(E) e ^{-iEt / \hbar} \ket{E} dE$$

양자 중첩과 측정의 물리학적 의미

양자 중첩의 물리학적 의미

앞에서 봤듯이, 하나의 양자 상태 $\ket{\psi}$는 측정 전에 여러 고유상태들이 동시에 공존하고 있는 상태라는 성질을 양자 중첩이라고 한다. 그런데, '공존하고 있다' 라는 말이 너무 애매하게 느껴진다. 고전역학에서는 어떤 입자는 보이는 한 상태만으로 존재하는데, 여러 상태가 같이 존재한다는 말이 과연 무슨 말일까? 해당 물리량을 측정하면 여러 고유값이 한꺼번에 관측되는 것이라도 될까?

아쉽게도(?) 아니다. 이 '공존하고 있다'의 의미를 한줄로 정리해보면 다음과 같다.

중첩된 여러 고유 상태에 대응되는 물리량 값 중 하나로 측정될 '잠재성'을 가진다.

우리가 여태껏 수행해온 양자 단위의 실험에서 한 물리량이 한번에 여러 값으로 튀어나온 적이 없는 것처럼, 측정 순간에는 여러 고유값 중 하나만이 관측된다. 즉, 선형 결합은 외분점 내분점같이 여러 고유상태의 '중간 상태'를 의미하는 것이 아니라, 여러 고유상태가 중첩되어 있다가 추후 측정을 통해 하나의 고유상태로 나타나는 상태를 의미한다.

양자 중첩의 개념을 확실히 이해하기 위해 예시를 들어보자. 여러분 모두 응애 시절에 한쪽으로 보면 상자 속에 있는 물건이 사라져 보이는 "매직 상자"를 만들어 본 적이 있을 것이다.

이름에서도 볼 수 있듯이, 편광 매직 상자에는 편광이라는 과학적 원리가 녹아 있다.

편광이란 전자기파로서의 빛이 어느 한 방향으로만 진동하는 현상을 말한다. 일반적으로 광원에서 나온 빛은 모든 방향으로 진동하는데, 이 빛이 한 방향으로만 홈이 나 있는 편광판을 통과하게 되면 그 방향으로 빛이 편광되게 된다.

여기서, 빛이 진동하는 방향은 평면 내에서 방향을 가지는 양이므로, 벡터로써 나타낼 수 있다. 따라서, 빛이 진동하는 방향은 수평 방향과 수직 방향 성분으로 분해할 수 있다. 가령 수평방향 성분과 수직방향 성분의 크기가 같아서 45도 각도를 이루고 있는 편광을 생각해보자. 그러면, $\ket{H}$를 수평 방향 성분, $\ket{V}$를 수직 방향 성분이라고 생각하면 다음과 같이 편광을 벡터 $\ket{\psi}$로써 나타낼 수 있다.

$$\ket{\psi} = \frac{1}{\sqrt{2}} \ket{H} + \frac{1}{\sqrt{2}} \ket{V}$$

즉, 이 편광된 빛을 나타내는 양자 상태 $\ket{\psi}$는 $\ket{H}$와 $\ket{V}$의 양자 중첩 상태인 것이다. 여기서, 실제로 이 빛을 수평 방향 편광판에 통과시키면, 고전 전자기학적으로는 $\ket{H}$ 성분만 살아남아서 빛의 세기가 줄어든 채로 편광판을 통과한다.

그런데, 만일 광양자설에 따라 이 빛을 입자의 관점에서 보면 어떻게 될까? 광자는 빛의 최소 단위이므로, 수평 방향과 수직 방향으로 쪼개질 수 없다. 그냥 광자는 '통과'하거나 '통과하지 않거나' 둘 중 하나의 결과만 나타난다.

따라서, 광자는 확률적으로 $\ket{H}$, $\ket{V}$ 중 하나의 상태로 결정된다. 수평 방향 편광을 나타내는 양자 상태 $\ket{H}$로 결정되면 편광판을 통과하고, 수직 방향 편광을 나타내는 양자 상태 $\ket{V}$로 결정되면 통과되지 못한다. 그러나 많은 광자에 대해 같은 실험을 반복하면 전체적으로는 절반 정도가 통과하는 결과를 얻는다.

이 예시에서 '편광판을 통과시키는 행위'가 그 광자의 편광 방향을 측정하는 행위이고, $\ket{H}$와 $\ket{V}$가 중첩되어 $\ket{\psi}$를 이룬다고 볼 수 있다. 여기서 편광 방향을 측정하는 행위를 통해 그 광자의 편광 방향이 수직 방향과 수평 방향 둘 중 하나로 결정되는 것처럼, 양자 중첩에서는 여러 고유상태가 중첩되어 있다가 추후 측정을 통해 하나의 고유상태로 나타​난다.

이 해석을 겁나 유명한 슈뢰딩거 고양이 사고 실험에 적용한다면, 고양이는 산 상태를 나타내는 고유 벡터와 죽은 상태를 나타내는 양자 상태의 선형 결합으로 이루어진 양자 상태를 지니고 있다고 볼 수 있다.

$$\ket{\text{고양이}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \ket{\text{살아 있음}} + \frac{1}{\sqrt{2}} \ket{\text{죽어 있음}}$$

복잡하게 보였던 슈뢰딩거 고양이가 그냥 단순한 양자 중첩이었다니, 신기하지 않는가?

확률 진폭

양자 중첩을 나타내는 선형 결합 식을 다시 보자.

$$\text{불연속 스펙트럼: } \,\, \ket{\Psi (t)} = \sum_{n} c_n \ket{\psi _n}$$

$$\text{연속 스펙트럼: } \,\, \ket{\Psi (t)} = \int ^{\infty} _{-\infty} c(\xi) \ket{\xi} d\xi$$

여기서, 선형 결합된 식 중 각 고유 상태의 계수인 $c_i$와 $c(\xi)$가 양자역학에서 어떤 물리적 의미를 가지고 있을까?​ 그 의미를 파헤쳐보기 위해 직접 Hermitian 연산자($\hat{Q}$)에 대응되는 물리량의 기댓값을 구해보자. 표기의 편의성을 위해 i번째 고유상태 $\ket{\psi_i}$ 의 고윳값을 각각 $Q_{i}$라고 표기하자. (본문에서는 편의상으로 불연속 스펙트럼에 대해서 구해본다. 연속 스펙트럼에 대해서는 연습문제에서 다뤄 보자.)

$$\begin{aligned}
\braket{\hat{Q}} &= \bra{\psi}\hat{Q}\ket{\psi} \\
&= \bra{\psi}\hat{Q}\sum_{n} \braket{\psi_n | \psi} \ket{\psi_n} = \sum_{n} c_n \bra{\psi}\hat{Q} \ket{\psi_n} \\
&= \sum_{n} c_n \bra{\psi} Q_{n} \ket{\psi_n} \\
&= \sum_{n} c_n Q_n \braket{\psi | \psi_n}
\end{aligned}$$

오잉? 그런데 뒤에 남은 내적 덩어리인 $\braket{\psi | \psi_n}$이 어딘가 조금 낯설다. 그래도 낯설게 받아들이지 말자. $\ket{\psi} = (\bra{\psi}) ^\dagger$이므로, $\ket{\psi}$를 고유상태들의 선형 결합으로 정의한 식에 대거($\dagger$)를 취해주면 쉽게 구해줄 수 있다. (이 과정에서 수반 연산자의 성질인 $(a\hat{A} + b\hat{B}) ^\dagger = a ^{*} \hat{A}^\dagger + b^{*} \hat{B}^\dagger$ 식을 활용하였다.)

$$\bra{\psi} = (\bra{\psi}) ^\dagger = (\sum_{m} c_m \ket{\psi_m})^\dagger = \sum_{m} c_m ^* (\ket{\psi_m})^\dagger = \sum_{m} c_m ^* \bra{\psi_m}$$

$$\begin{aligned}
\therefore \braket{\hat{Q}} &= \sum_{n} c_n Q_n \braket{\psi | \psi_n} \\
&= \sum_{n} c_n Q_n (\sum_{m} c_m ^* \bra{\psi_m});\ket{\psi_n} \\
&= \sum_{n} c_n Q_n (\sum_{m} c_m ^* \braket{\psi_m|\psi_n}) \\
&= \sum_{n} c_n Q_n (\sum_{m} c_m ^* \delta_{mn}) \\
&= \sum_{n} c_n Q_n c_n^* \\
&= \sum_{n} |c_n|^2 Q_n
\end{aligned}$$

($\delta_{mn}$은 m, n에 대한 크로네커 델타이다.)

확률과 통계 시간에 배운 것과 같이, 기댓값은 각 값과 그 값이 나올 수 있는 확률을 곱한 값의 총합이다. 따라서, 위 식을 눈을 크게 뜨고 잘 살펴보면 자연수 i에 대해 $|c_{i}| ^{2}$를 i번째 상태의 고윳값 $Q_{i}$가 나올 수 있는 확률로 해석할 수 있다.

따라서, 각 고유상태별 고윳값이 나올 수 있는 확률은 선형조합에서 파동함수의 가중치의 절댓값 제곱($|c_{i}| ^{2}$)에 비례한다고 볼 수 있다. 보른의 해석에서 물질이 발견될 확률밀도함수는 그 위치에서의 파동함수 진폭값의 제곱 $|\Psi | ^{2}$이었던것처럼, 위에서 말했 던 것과 같이 $c_{i}$는 관측 시 $\psi_{i}$ 상태로 관측될 확률 진폭의 의미를 가진다.

코펜하겐 해석

지금까지 양자 중첩에 대한 설명을 듣고, 분명 다음과 같이 생각한 독자도 있을 것이다.

너무 현상적인 설명이라서, 마음에 안 드는데? 그래서 양자 중첩이 도대체 왜 일어나는거냐고

사실 광양자설을 도입한 것도 광전 효과에서 고전역학의 모순을 타파하기 위함인 것처럼, 양자역학은 대단히 '귀납적'으로 성립되었고, 발전한 학문이다. 따라서, 양자역학에서 이런 현상이 "왜 일어나는지"에 해당하는 '본질'을 설명하는 관점에는 코펜하겐 해석, 다세계 해석 등 여러 가지가 있다.

그중 현대 양자역학에서 거의 표준으로 자리잡은 해석이 바로 코펜하겐 해석이다. 코펜하겐 해석에서는 이 근본적인 이유를 다음과 같이 답하고 있다.

아 몰라~~ 배째

아니 이게 무슨 말인가? 참으로 충격적인 해석이다. 실제로, 코펜하겐 해석을 한줄 요약해보면 이렇다.

실험으로 검증할 수 없는 '본질'을 꿰뚫는 형이상학적인 내용은 "신의 영역"이다. 신의 영역을 침범하기보다, 검증 가능한 예측을 하는 것이 바로 물리학이다.

(참고로 필자는 무교다.)

따라서, 코펜하겐 해석에서 파동함수는 그냥 "입자가 존재할 확률을 뱉어주는 계산 도구"라고 생각한다. 그리고, 파동함수를 벡터 공간으로 올린 양자 상태의 중첩에 대해 다음과 같이 설명해준다.

1. 양자 상태는 측정되기 전에는 여러 가지 고유상태가 확률적으로 중첩되어 있다.
2. 관측자가 그 양자 상태에 대해 측정을 수행하면 파동함수의 붕괴가 일어나 파동함수는 겹침상태가 아닌 하나의 상태로만 결정된다.

앞에서 말했듯 양자역학의 본질에는 다른 해석들도 존재하지만, 일반적으로 양자역학 입문 단계에서는 코펜하겐 해석을 기본 관점으로 사용한다. 따라서, 이 시리즈에서도 코펜하겐 해석을 중심으로 글을 전개해갈 예정이다.

참고 자료

• Griffiths, D. J., & Schroeter, D. F. (2018). Introduction to quantum mechanics (3rd ed.). Cambridge University Press.
• McQuarrie, D. A., & Simon, J. D., Quantum Chemistry (2nd ed.). University Science Books, 1997.
• Sakurai, J. J., and Jim Napolitano. Modern Quantum Mechanics. (3rd ed.) Cambridge: Cambridge University Press, 2020.
• 위키백과 - 코펜하겐 해석 (https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%BD%94%ED%8E%9C%ED%95%98%EA%B2%90_%ED%95%B4%EC%84%9D)

연습문제

고유 상태와 양자 중첩 연습문제입니다.

1. 다음 명제의 참/거짓을 판별하시오. 참인 경우에는 명제가 성립함을 증명하고, 거짓인 경우에는 명제가 틀렸음을 증명하거나 반례를 제시하시오.

서로 다른 두 위치 기저에 대한 파동함수 $\psi (x)$, $\phi (x)$는 반드시 서로 다른 양자 상태를 나타낸다.

2. 상수 L과 자연수 n에 대해, $0 \leq x \leq L$ 구간에서 퍼텐셜이 0이고, 나머지 구간에서 퍼텐셜이 무한대인 어떤 양자 입자의 n번째 해밀토니안 고유상태 $\ket{n}$의 위치 표현이 다음과 같다.
   $$\braket{x|n} = \psi_{n} (x) = \left\{\begin{matrix}
   \sqrt{\frac{2}{L}} \text{sin} (\frac{n\pi}{L} x) & (0 \leq x \leq L) \\
   0 & (x > L, x < 0) \\
   \end{matrix}\right.$$
   물음에 답하시오.
   1. $\ket{n}$의 해밀토니안 고윳값을 n과 L에 관한 식으로 구하시오.
   2. $L ^2$ 공간 내의 위치 표현이 다음과 같은 양자 상태 $\ket{\Psi}$를 생각하자.
      $$\braket{x|\Psi} = \left\{\begin{matrix}
      3x(L-x) & (0 \leq x \leq L) \\
      0 & (x > L, x < 0) \\
      \end{matrix}\right.$$
      $\ket{\Psi}$를 $\ket{n}$의 선형 조합으로 다음과 같이 나타낼 때, $\ket{n}$의 전개 계수 $c_{n}$을 n에 관한 식으로 구하시오.
      $$\ket{\Psi} = \sum_{n} c_n \ket{n}$$
   3. 위 b번의 양자 상태 $\ket{\Psi}$의 해밀토니안 기댓값 $\braket{\hat{H}}$을 구하시오.
   4. b번의 양자 상태 $\ket{\Psi}$의 해밀토니안을 측정하였을 때, $\ket{1}$의 해밀토니안 고윳값이 측정될 확률을 구하시오.

3. 유명한 연속 스펙트럼의 예시 중 하나인 자유입자의 운동량에 대해서 디랙 직교규격화가 도출되는 과정을 알아보자.
   1. 운동량 연산자의 위치 표현 $\hat{p} = \frac{h}{i} \frac{\partial}{\partial x}$의 고유함수를 구하시오.
   2. 운동량의 서로 다른 고윳값 $p$, $p'$를 갖는 고유상태 $\ket{p}$, $\ket{p'}$에 대해, $\braket{p' | p}$를 위치에 대한 적분식으로 표현하고, 이 값이 디랙 델타 함수 꼴로 도출됨을 설명하시오.
      (단, $\delta (x) = \frac{1}{2\pi} \int ^{\infty} _{-\infty} e ^{ikx} dk$가 성립한다.)

4. 연속 스펙트럼을 갖는 Hermitian 연산자 $\hat{\xi}$의 고유상태를 $\ket{\xi}$, 고윳값을 $\xi$라 하자. 또한 임의의 양자 상태 $\ket{\Psi}$가 다음과 같이 전개된다고 하자.
   $$\ket{\Psi} = \int_{-\infty}^{\infty} c(\xi)\ket{\xi}\,d\xi $$
   1. 위 전개식에 수반 연산자($\dagger$)을 취하여 $\bra{\Psi}$를 $c(\xi)$를 이용하여 나타내시오.
   2. $\braket{\hat{\xi}} = \bra{\Psi}\hat{\xi}\ket{\Psi}$가 다음과 같이 정리됨을 보이시오.
      $$\braket{\hat{\xi}} = \int_{-\infty}^{\infty} |c(\xi)|^2\,\xi\,d\xi$$
   3. 위 b번 결과를 활용하여, $|c(\xi)|^2$의 물리적 의미를 설명하시오.