Buckingham \(\pi\) theorem
버킹엄 파이 정리는 차원 분석을 하는데 사용되는 주요한 정리이다.
Buckingham $\pi$ theorem
$n$ 개의 변수로 이루어진 어떤 물리 법칙이 $k$ 개의 기본 차원에 의존한다면, 이 법칙은 $(n − k)$ 개의 무차원군(dimensionless group, $\pi$-group)으로 표현될 수 있다.
수학적으로 표현한다면,
$n$ 개의 독립 변수인 물리량 $q_i$ 가 다음과 같은 관계식
$$f(q_1, q_2, \cdots, q_n) = 0$$
을 만족하고 해당 관계식을 구성하는 기저 차원이 $k$ 개라고 할 때, 위 관계식은 $p = n-k$ 개의 무차원량인 $\pi_i$ 를 이용하여
$$F(\pi_1, \pi_2, \cdots, \pi_p) = 0$$
으로 나타낼 수 있고, 이때 $\pi_i$ 는 다음을 만족한다.
$$\pi_i = \prod_{i=1}^n q_i^{a_i}$$ (단, $a_i$ 는 유리수)
$n$ 개의 변수로 이루어진 어떤 물리 법칙이 $k$ 개의 기본 차원에 의존한다면, 이 법칙은 $(n − k)$ 개의 무차원군(dimensionless group, $\pi$-group)으로 표현될 수 있다.
수학적으로 표현한다면,
$n$ 개의 독립 변수인 물리량 $q_i$ 가 다음과 같은 관계식
$$f(q_1, q_2, \cdots, q_n) = 0$$
을 만족하고 해당 관계식을 구성하는 기저 차원이 $k$ 개라고 할 때, 위 관계식은 $p = n-k$ 개의 무차원량인 $\pi_i$ 를 이용하여
$$F(\pi_1, \pi_2, \cdots, \pi_p) = 0$$
으로 나타낼 수 있고, 이때 $\pi_i$ 는 다음을 만족한다.
$$\pi_i = \prod_{i=1}^n q_i^{a_i}$$ (단, $a_i$ 는 유리수)
먼저 Buckingham $\pi$ theorem 의 활용 예시에 대해서 알아보겠다. 간단한 예시로 단진자의 주기를 이 정리를 이용하여 차원 분석을 통해 알아보자.
Example) 단진자의 주기
먼저, 단진자의 기저 차원은 $\textbf{M, L, T}$ 이고 물리량은 $l, \omega, g, T$ 이므로, 차원 행렬 $M$ 을 만들어보면,
$$\begin{align}
\textbf{dim}\,l &= \textbf L \\
\textbf{dim}\,\omega &= \textbf{MLT}^{-2} \\
\textbf{dim}\,g &= \textbf{LT}^{-2} \\
\textbf{dim}\,T &= \textbf{T}
\end{align}$$
따라서,
$$\begin{pmatrix} \, & l & \omega & g & T \\ M & 0 & 1 & 0 & 0 \\ L & 1 & 1 & 1 & 0 \\ T & 0 & -2 & -2 & 1 \end{pmatrix}$$
이고, 여기서 차원 행렬은,
$$\therefore M = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & -2 & 1 \end{pmatrix}$$
이다. 이 행렬을 기본행 연산을 통하여,
$$M\longrightarrow\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & \frac{1}{2} \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}$$
으로 만들면, $\mathrm{rank}~M=3$ 이므로, $p=n-\mathrm{rank}~M=4-3=1$, 즉 $1$ 개의 무차원량 $\pi_1$ 을 얻을 수 있다. $M$ 을 영벡터로 만드는 kernel $\alpha$ 를 고려해보면, $M{\alpha}=\textbf{0}$ 을 만족시키는 kernel $\alpha$ 는,
$${\alpha}=\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$$
으로 나타난다. 따라서 원래 물리량의 관계식은 $f(l,\omega,g,T)=0 \rightarrow F(\pi_1)=0$ 으로 나타나게 되고, $\pi_1$ 은,
$$\pi_1=l^{-1}\omega^{0}g^1T^2=\frac{gT^2}{l}$$
이다.
먼저, 단진자의 기저 차원은 $\textbf{M, L, T}$ 이고 물리량은 $l, \omega, g, T$ 이므로, 차원 행렬 $M$ 을 만들어보면,
$$\begin{align}
\textbf{dim}\,l &= \textbf L \\
\textbf{dim}\,\omega &= \textbf{MLT}^{-2} \\
\textbf{dim}\,g &= \textbf{LT}^{-2} \\
\textbf{dim}\,T &= \textbf{T}
\end{align}$$
따라서,
$$\begin{pmatrix} \, & l & \omega & g & T \\ M & 0 & 1 & 0 & 0 \\ L & 1 & 1 & 1 & 0 \\ T & 0 & -2 & -2 & 1 \end{pmatrix}$$
이고, 여기서 차원 행렬은,
$$\therefore M = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & -2 & 1 \end{pmatrix}$$
이다. 이 행렬을 기본행 연산을 통하여,
$$M\longrightarrow\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & \frac{1}{2} \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}$$
으로 만들면, $\mathrm{rank}~M=3$ 이므로, $p=n-\mathrm{rank}~M=4-3=1$, 즉 $1$ 개의 무차원량 $\pi_1$ 을 얻을 수 있다. $M$ 을 영벡터로 만드는 kernel $\alpha$ 를 고려해보면, $M{\alpha}=\textbf{0}$ 을 만족시키는 kernel $\alpha$ 는,
$${\alpha}=\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$$
으로 나타난다. 따라서 원래 물리량의 관계식은 $f(l,\omega,g,T)=0 \rightarrow F(\pi_1)=0$ 으로 나타나게 되고, $\pi_1$ 은,
$$\pi_1=l^{-1}\omega^{0}g^1T^2=\frac{gT^2}{l}$$
이다.
위의 예시와 같이 Buckingham $\pi$ theorem 은 의미 있는 무차원수를 얻어내는데 사용할 수 있다. 이 정리를 유도하여 보자.
Buckingham $\pi$ theorem 유도
물리 법칙이 변수 $x_1,x_2,\cdots,x_n$ 으로 쓰이고, 각 변수의 차원이 $k$ 개의 기본차원에 의존한다고 했을때, 각 변수 $x_j$ 의 차원을,
$$[x_j]=M^{a_{1j}}L^{a_{2j}}\cdots (총 k개)$$
로 놓고, 지수들을 모아 차원 지수 행렬 $A\in\mathrm{R}^{k\times n}$ 을 만들 수 있다. 이때, 열 $j$ 는 변수 $x_j$ 의 지수 벡터이다.
무차원군 $\pi=\prod_{j=1}^n x_j^{\alpha_j}$ 이 되려면,
$$[\pi]=\prod\nolimits_{j=1}^n [x_j]^{\alpha_j}=M^{\sum_j \alpha_{1j}\alpha_j}L^{\sum_j \alpha_{2j}\alpha_j}\cdots$$ 의 모든 기본차원 지수가 $0$ 이어야 한다. 즉,
$$A\boldsymbol{\alpha}=\mathbf{0} ~~(\boldsymbol{\alpha}\in\mathrm{R}^n)$$
따라서 무차원군은 $A$ 의 영공간에 해당한다. $\mathrm{rank}(A)=k$ 이면,
$$\dim \ker(A)=n-k$$
따라서, 서로 독립인 무차원군의 개수는 $n-k$ 이다.
물리 법칙이 변수 $x_1,x_2,\cdots,x_n$ 으로 쓰이고, 각 변수의 차원이 $k$ 개의 기본차원에 의존한다고 했을때, 각 변수 $x_j$ 의 차원을,
$$[x_j]=M^{a_{1j}}L^{a_{2j}}\cdots (총 k개)$$
로 놓고, 지수들을 모아 차원 지수 행렬 $A\in\mathrm{R}^{k\times n}$ 을 만들 수 있다. 이때, 열 $j$ 는 변수 $x_j$ 의 지수 벡터이다.
무차원군 $\pi=\prod_{j=1}^n x_j^{\alpha_j}$ 이 되려면,
$$[\pi]=\prod\nolimits_{j=1}^n [x_j]^{\alpha_j}=M^{\sum_j \alpha_{1j}\alpha_j}L^{\sum_j \alpha_{2j}\alpha_j}\cdots$$ 의 모든 기본차원 지수가 $0$ 이어야 한다. 즉,
$$A\boldsymbol{\alpha}=\mathbf{0} ~~(\boldsymbol{\alpha}\in\mathrm{R}^n)$$
따라서 무차원군은 $A$ 의 영공간에 해당한다. $\mathrm{rank}(A)=k$ 이면,
$$\dim \ker(A)=n-k$$
따라서, 서로 독립인 무차원군의 개수는 $n-k$ 이다.
Buckingham $\pi$ theorem 유체역학에서 굉장히 많이 사용하는 정리이다. 유체역학에서는 어떠한 현상에 영향을 주는 파라미터의 값이 굉장히 많기 때문에 이러한 많은 파라미터들을 대표할 수 있는 값을 찾기 위해서 이 정리를 이용한다. 대표적으로 레이놀즈 수와 마하수 등이 Buckingham $\pi$ theorem 을 통해 얻어진 것들이다. 자세한 것들은 Fundamentals of Aerodynamics 의 36 에서 40 쪽을 참고하자.
