시리즈 | FA - 3. 푸리에 급수의 유일성

오늘은 Elias M. Stein과 Rami Sakarchi의 [STEIN 푸리에 해석학]에서 소개된 푸리에 급수의 유일성의 증명을 알아봅니다. 사실 그냥 책을 직접 읽어도 되지만, 이 글에선 최대한 자세하게 주저리 주저리 증명을 설명하려고 합니다.

유일성에 대해 얘기하기 전에 앞으로의 글들의 방향성에 대해 얘기하려 합니다.

전 글에서

$$f(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}a_ne^{2\pi i n x/L}$$

푸리에 급수로 \(f\)가 나타내질 수 있다는 걸 강조하기 위해서 등호를 썼습니다. 하지만 푸리에 급수는 위에서처럼 모든 점들에서 값이 같게 수렴하는 것 외에도 함수의 성질에 따라 여러 의미로 원래 함수에 수렴할 수 있습니다.

테일러 급수의 경우에는 기본적으로 무한 번 미분가능해야 급수가 정의될 수 있고, 심지어 무한 번 미분가능한 점에서도 원래 함수에서 발산하는 등 아주 강한 조건 하에 함수에 수렴을 합니다.

따라서 테일러 급수는 원래 함수에 수렴할 때는 원래 함수와 완벽히 같고, 발산할 때는 완전히 발산합니다.

$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-a)^n$$

반면, 푸리에 급수의 경우에는 계수들이 미분이 아니라 적분으로 정의가 되다보니 훨씬 넓은 범위의 함수들에서도 급수가 정의가 되고, 함수로 수렴을 하게 됩니다. 그런데 이때 조건에 따라서 푸리에 급수가 함수에 완벽히 수렴하진 않아도 어느정도 같아지는 경우들이 생깁니다.

앞으로의 글들에선 푸리에 급수가 어떤 조건 하에 어떻게 수렴하는지에 대해 다루게 됩니다.

전 글에서도 했듯이, 어차피 구간을 어떻게 잡던 쓰는 논리는 달라지지 않으니 푸리에 급수의 구간을 표기가 편한 구간 [-π,π]로 잡읍시다. 우리가 증명하고 싶은 정리는 다음과 같습니다

\(h(\theta)=f(\theta)-g(\theta)\)인 \(h(\theta)\)를 두면

위 명제는 다음과 같다는 걸 확인 할 수 있습니다.

h가 적분가능한 함수이고, h의 모든 푸리에 계수가 0이면, 연속인 점 \(\theta_0\)에서 \(h(\theta_0)=0\)이다.

이 명제를 보고

$$f(\theta_0)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}0 e^{in\theta_0}=0$$

이니까 "어 이거 자명한 거 아닌가?"라고 당연히 생각이 들 수 있습니다. 우리가 이것을 증명해야 되는 이유는 푸리에 계수가 적분으로 정의되기 때문입니다.

위 그림을 보면

$$\int f(\theta)d\theta=\int\mathbf{f}(\theta)d\theta$$

$$f(\theta_0)\neq \mathbf{f}(\theta_0)$$

임을 확인할 수 있는데, 따라서 이를 통해서 푸리에 급수로 나타냈을 때 계수가 같아도 두 함수가 특정 점들에선 값이 다를 수 있다는 것을 확인 할 수 있습니다(정확히는 측도가 0인 점들의 집합에서(=무시할 만큼 적은 양의 점들)).

우리는 여기에 연속 조건을 더했을 때 유일성이 성립하는지 보고 싶은 겁니다.

증명의 계획은 굉장히 간단합니다. 귀류법을 써서, \(f(\theta_0)\neq 0\)이라고 합니다. 일반성을 잃지 않고, f가 [-π,π]에서 정의되어 있고, \(\theta_0=0\), 그리고 f(0)>0이라고 둡니다.

(왜냐하면 예를 들어서 \(\theta_0=\pi/6\)였으면 f를 주기함수로 하고 \(\pi/6\)이 0에 오게 평행이동 시키고 나서 [-π,π]에서 정의되게 하면 같은 논법 적용 가능, 그리고 f(0)<0이어도 똑같은 논법 적용 가능)

그렇게 둔 후 0에서 엄청 커지는 삼각다항식들을{\(p_k(\theta)\)} 만드는 겁니다. f의 모든 푸리에 계수가 0이니 \(\int_0^{2\pi}f(\theta)p_k(\theta)d\theta\)=0이어야 되는데, \(k \to \infty\)가 됨에 따라 저 적분이 발산함을 보여서 모순을 찾는 것입니다.

(삼각다항식은 \(P(x)=\sum_{n=-N}^{N}a_n e^{inx}\)으로 나타내지는 모든 함수입니다(여기 참고) 그래서 f의 모든 푸리에 계수가 0임을 이용해서

\begin{equation*}
\begin{split}
\int_{-\pi}^{\pi}f(\theta)p_k(\theta)d\theta&=\int_{-\pi}^{\pi}f(\theta)\sum_{n=-N}^{N}a_n e^{in\theta}d\theta \\
&=\sum_{n=-N}^{N}a_n\int_{-\pi}^{\pi}f(\theta) e^{in\theta}d\theta =0
\end{split}
\end{equation*}

인 것입니다.)

삼각다항식은 다음과 같이 정합니다:

$$p(\theta)=\epsilon+\cos(\theta) \, , \, \, p_k(\theta)=(\epsilon+\cos(\theta))^k$$

조건에 의해서 0에서 함수 f는 연속이니, 엡실론 델타 논법으로 정의한 연속을 생각해서

$$\forall \epsilon' > 0 \, \, \, \exists \delta >0 \, \, \, s.t. $$

$$|\theta-0|<\delta \Rightarrow |f(\theta)-f(0)|<\epsilon'$$

이니, \(\epsilon'=f(0)/2\)로 두면 \(|\theta|<\delta\)일 때 \(f(\theta)>f(0)/2\)이고 \(0<\delta<\pi/2\)인 \(\delta\)를 잡을 수 있습니다.

그리고 \(\epsilon\)을 \(\delta<|\theta|\leq\pi\)일 때 \(|p(\theta)|<1-\epsilon/2\)이 되게 충분히 작게 잡습니다.

또, \(|\theta|<\eta\)이면 \(p(\theta)>1+\epsilon/2\)이게 \(0<\eta<\delta\)인 \( \eta \)를 잡읍시다.

마지막으로 f는 적분 가능한 함수이니 모든 \(\theta\)에 대해 \(|f(\theta)|\leq B\)인 바운드 B를 잡으면

$$\int_{-\pi}^{\pi}f(\theta)p_k(\theta)d\theta$$

위 적분을 \(|\theta|\)의 \([0,\eta], ( \eta ,\delta],(\delta,\pi]\)의 세 개의 구간으로 나눠서 분석할 수 있습니다.

1-\((\delta,\pi]\)

-(적분 구간 크기)=\(2(\pi-\delta)\)

-\(f(\theta)\leq B\)

-\(p_k(\theta)<(1-\epsilon/2)^k\)

$$\therefore|I_1|= \left| \int_{|\theta|>\delta}f(\theta)p_k(\theta)d\theta \right|\leq 2(\pi-\delta)B(1-\epsilon/2)^k$$

이어서 \((1-\epsilon/2)^k\)항에 의해서 k가 무한대로 감에 따라서 적분값은 0으로 갑니다.

2-\(( \eta ,\delta]\)

-(적분 구간 크기)=\(2(\delta-\eta)>0\)

-\(f(\theta)>f(0)/2\)

-\(p_k(\theta)>\epsilon^k \, \, (\because |\theta|<\delta<\pi/2 \Rightarrow p(\theta)=\epsilon+\cos(\theta)>\epsilon)\)

$$\therefore I_2=\int_{\eta<|\theta|\leq\delta}f(\theta)p_k(\theta)d\theta>0$$

3-\([0,\eta]\)

-(적분 구간 크기)=\(2\eta\)

-\(f(\theta)>f(0)/2\)

-\(p_k(\theta)>(1+\epsilon/2)^k\)

$$\therefore I_3=\int_{|\theta|\leq\eta}f(\theta)p_k(\theta)d\theta>\eta f(0)(1+\epsilon/2)^k $$

따라서 이 적분값은 \((1+\epsilon/2)^k\)에 의해서 k가 무한대로 감에 따라서 양의 무한대로 발산합니다.

그래서 by 1,2,3

$$\int_{-\pi}^{\pi}f(\theta)p_k(\theta)d\theta=I_1+I_2+I_3>I_3$$

$$\therefore \int_{-\pi}^{\pi}f(\theta)p_k(\theta)d\theta\to \infty \, \, \, as \, \, \, k\to \infty$$

따라서 모순이 발생해서 유일성 정리는 참이 됩니다.