시리즈 | FA - 6. 합성곱과 좋은 핵
오늘은 가볍게 Elias M. Stein과 Rami Sakarchi의 [STEIN 푸리에 해석학] 에서 소개된 합성곱과 핵, 좋은 핵에 대해서 알아봅시다.
푸리에 해석 6
합성곱과 좋은 핵
먼저, 합성곱에 대해 알아봅시다.
2\(\pi\)주기 함수들 \(f\)와 \(g\)에 대해 합성곱(∗)을 다음과 같이 정의한다.
$$(f \ast g)(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(y)g(x-y)dy$$
합성곱은 함수와 함수를 먹어서 새로운 함수를 뱉는 연산으로서, 함수에서의 곱과 같은 역할을 할 수 있다고 생각할 수 있습니다. 그래서 실제로 곱셈의 성질들을 다 가집니다.
2\(\pi\)주기이며 적분가능한 함수 \(f\)와 \(g\)에 대해 합성곱이 다음 성질들을 만족한다.
\( (1) f \ast (g+h) = (fg) + (fh) \)
\( (2) (cf) \ast g = c(f\ast g) = f\ast (cg) \quad \text{for any } c \in \mathbb{C} \)
\((3)f \ast g = g \ast f \)
\((4) (fg) \ast h = f \ast (gh) \)
\((5) f \ast g \text{ is continuous} \)
\((6) \widehat{f \ast g}(n) = \hat{f }(n)\hat{g}(n) \)
(여기서 hat 기호는 \(\hat{f}\)은 \(f\)의 푸리에변환, 즉 푸리에계수를 의미하는 것입니다. (6)을 말로 설명하자면 \(f,g\)의 합성곱 했을 때 나오는 함수의 푸리에 계수는 \(f,g\)의 푸리에 계수를 곱한 것과 같다는 겁니다.)
위 성질들의 증명의 경우 변수변환(치환적분), 적분의 선형성 등이나 극한에서 \(f\)와 \(g\)가 되는 연속함수를 만들어서 균등수렴을 이용해서 하면 됩니다. 연습문제로 생각하고 해보시는 걸 추천드립니다.
합성곱을 직관적으로 생각하기 좋은 방법은 \(f \ast g\)가 주어졌을 때 \(f\)를 고정시킨 후 가중치함수 \(g\)를 \(y\)축 대칭 후 \(x\)만큼 이동시켜서 가중평균을 구한 거로 생각하는 것입니다.
합성곱의 개념은 정말 다양한 활용처가 있습니다. 정보과학에서도 합성곱의 개념을 다양하게 쓰는 것으로 알고, 미분방정식을 풀 때도 (6)의 성질로 인해서 합성곱이 매우 유용합니다. 하지만 우리가 푸리에 해석학 시리즈에서 합성곱에 관심을 가지는 이유는 푸리에 급수의 다양한 합들이 (부분합,체사로 합, 아벨 합) 원 함수와 어떤 '핵'의 합성곱으로 나타나기 때문입니다.
핵에 대해서 설명하자면 다음과 같습니다: 앞서 합성곱이 가중평균을 구하는 것과 같다고 했었습니다. 그렇게 생각했을 때 원 함수에 가해지는 가중치함수를 우리는 핵이라고 부릅니다. 핵은 보통 함수에 대한 정보를 뽑을 때 쓰입니다. 푸리에 계수를 구할 때의 \(exp(-inx)\)도 핵으로 생각할 수 있겠습니다. 또 다른 예시는 푸리에해석3에서 푸리에 급수의 유일성을 증명할 때 사용했던 질량이 다 중앙으로 모이는 삼각다항식들이 있겠습니다.
앞으로의 글에서 쓸 핵들은 앞서 말한 유일성 증명에서 쓰인 핵처럼 한 점으로 질량이 쏠려서 그 한 점의 정보와 함수의 전체적인 정보를 잇는 역할을 합니다.
앞으로 볼 핵 하나:
$$D_N(x)=\sum_{n=-N}^Ne^{inx}=\frac{\sin((N+\frac{1}{2})x)}{\sin(\frac{x}{2})}$$
디리클레 핵은 함수와의 합성곱을 했을 때 푸리에 급수의 부분합이 된다는 점에서 굉장히 유용합니다.
\begin{equation*}
\begin{split}
(f\ast D_N)(x)&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(y)\sum_{n=-N}^Ne^{in(x-y)}dy \\
&=\sum_{n=-N}^Ne^{inx}\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(y)e^{-iny}dy \\
&=\sum_{n=-N}^Na_ne^{inx}
\end{split}
\end{equation*}
마지막으로 좋은 핵에 대해서 알아봅시다.
다음과 같은 조건을 만족하는 \(\{K_n(x)\}_{n=1}^{\infty}\)들을 좋은 핵이라고 한다
(1) 모든 $n \geq 1$에 대해서
$$\frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} K_n(x) dx = 1$$
(2) $M > 0$이 $n \geq 1$인 모든 n에 대해서 다음을 만족하게 존재한다,
$$\int_{-\pi}^{\pi} |K_n(x)| dx \leq M$$
(3) 모든 $\delta > 0$에 대해,
$$\int_{\delta \leq |x| \leq \pi} |K_n(x)| dx \to 0, \quad \text{as } n \to \infty$$
좋은 핵들의 극한은 합성곱에 대한 항등원입니다.
\(\{K_n(x)\}_{n=1}^{\infty}\)들이 좋은 핵들이고, \(f\)가 적분가능하고 \(x\)에서 연속이면,
$$\lim_{n\to \infty}(f\ast K_n)(x)=f(x)$$
증명:
일단 좋은 핵의 조건(1)로
\begin{equation*}
\begin{split}
(f \ast K_n)(x) - f(x) &= \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} K_n(y) f(x-y) dy - f(x) \\
&= \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} K_n(y)\bigl[f(x-y) - f(x)\bigr]dy
\end{split}
\end{equation*}
이고, 푸리에 급수의 유일성 증명 때 했던 것과 비슷하게 \(x\)에서의 연속 조건으로 \(\delta\)범위를 잡고 구간을 나눕시다.
\begin{equation*}
\begin{split}
\bigl|(f \ast K_n)(x) - f(x)\bigr|
&= \left|\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} K_n(y)\bigl[f(x-y) - f(x)\bigr], dy \right| \\
&\leq \frac{1}{2\pi}\int_{|y|<\delta} |K_n(y)||f(x-y) - f(x)| dy \\
&\quad + \frac{1}{2\pi}\int_{\delta \leq |y| \leq \pi} |K_n(y)||f(x-y) - f(x)| dy \\
&\leq \frac{\epsilon}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} |K_n(y)| dy +
\frac{2B}{2\pi}\int_{\delta \leq |y| \leq \pi} |K_n(y)| dy \\
\end{split}
\end{equation*}
여기서, 좋은 핵의 조건(2)로 첫 번째 항은 바운드\(\times \epsilon\) 이고, 두 번째 항도 좋은 핵의 조건(3)으로 상수\(\times \epsilon\) 꼴이어서 결국 모든 \(\epsilon\)에 대해
$$\bigl|(f \ast K_n)(x) - f(x)\bigr|\leq C\epsilon$$
이니 증명이 완료 됐습니다. 그리고 만약 x가 어떤 구간에서 연속이었으면, 균등수렴의 정의에 따라서 그 구간에서 균등수렴합니다.
좋은 핵이랑 디리클레 핵을 보며 이걸 도대체 어디에 쓰나 싶을 수 있지만, 앞서 말한 것처럼 푸리에 급수의 유일성 증명에서 쓴 한 점의 정보와 함수의 전체적인 정보를 잇는 아이디어를 일반화한 거로 생각하시면 좋을 것 같습니다.
