Vis-Viva Equation

Astronomy Sep 2, 2025

서론

중심에 계의 질량이 집중되어 있으며, 등속 원운동 할 때 궤도 운동 속력은 다음과 같이 구할 수 있다.

\[v=\sqrt{\frac{GM}{r}}\]

이는 상당히 유용한 결과이다. 하지만 우리가 이미 알고 있듯이, 행성의 궤도는 원이 아니라 타원이다. 태양계 행성의 대부분은 궤도가 원에 가깝기에 원으로 근사하여 궤도 운동 속력을 구하기도 한다. 하지만, 궤도 운동 속력을 정밀하게 계산해야 할 때나, 혜성과 같이 극단적인 타원궤도를 그리는 천체의 궤도 운동 속력을 구할 때에는 원 근사 이외의 다른 방법이 필요하다.

활력방정식

타원궤도에서 궤도 운동 속력을 구하는 공식을 활력방정식(vis-viva equation)이라고 한며, 그 식은 다음과 같다.

\[v^2 = GM(\frac{2}{r}-\frac{1}{a})\]

지금부터 이 식을 유도해 보도록 하겠다.

증명

행성의 운동속도 \(\mathbf{v}\)를 다음과 같이 성분 분해 하자.

\[\mathbf{v} = v_r \,\mathbf{\hat{r}} + v_\theta \,\boldsymbol{\hat{\theta}}\]

자명하게, 궤도 운동 속력은 \(v^2 = v_r^2 + v_\theta^2\)일 것이다.

케플러 제 2법칙에서 면적속도의 정의는 \[\frac{dA}{dt} = \tfrac{1}{2} r^2 \frac{d\theta}{dt}\]

이를 \(\frac{d\theta}{dt}\)에 대하여 정리하면 \[\frac{d\theta}{dt} = \frac{2}{r^2}\frac{dA}{dt}\]

케플러 제 2법칙에 의해 면적속도는 일정하므로 \[\frac{d\theta}{dt} = \frac{2}{r^2}\cdot\frac{\pi ab}{P}\] 궤도 이심률이 \(e\)이면 \(b = a\sqrt{1-e^2}\)로 쓸 수 있는 것을 이용하여 정리하자. \[\frac{d\theta}{dt} = \frac{2\pi a^2\sqrt{1-e^2}}{P r^2}\]

위 결과를 이용하여 궤도 운동 속도의 \(\mathbf{\hat{r}}\) 방향 성분을 구하자. \[v_r = \frac{dr}{dt}\] \[= \frac{dr}{d\theta}\frac{d\theta}{dt}\] \[= \frac{d}{d\theta}\!\left(\frac{a(1-e^2)}{1+e\cos\theta}\right)\frac{d\theta}{dt}\] \[= \frac{d\theta}{dt}\cdot\frac{a(1-e^2)\,e\sin\theta}{(1+e\cos\theta)^2}\]

앞에서 구한 \(\frac{d\theta}{dt}\)를 위 식에 대입하면, \[v_r = \frac{2\pi a\sqrt{1-e^2}}{P r^2}\cdot\frac{a(1-e^2)e\sin\theta}{(1+e\cos\theta)^2}\] \[= \frac{2\pi a}{P}\cdot\frac{e\sin\theta}{\sqrt{1-e^2}}\]

이제 속도의 \(\boldsymbol{\hat{\theta}}\) 방향 성분을 구하자. \[v_\theta = r\frac{d\theta}{dt}\] \[= r\cdot\frac{2\pi a\sqrt{1-e^2}}{P r^2}\] \[= \frac{2\pi a\sqrt{1-e^2}}{P r}\]

극좌표계에서의 타원의 방정식을 대입하면, \[v_\theta = \frac{2\pi a\sqrt{1-e^2}}{P}\cdot\frac{1+e\cos\theta}{a(1-e^2)}\] \[= \frac{2\pi a}{P}\cdot\frac{1+e\cos\theta}{\sqrt{1-e^2}}\]

이제 \(v_r\), \(v_\theta\)를 이용하여 행성의 궤도 운동 속력을 구하자.

\[v^2 = v_r^2 + v_\theta^2\]
\[= \left(\dfrac{2\pi a}{P\sqrt{1-e^2}} e\sin\theta\right)^2 + \left(\dfrac{2\pi a}{P\sqrt{1-e^2}}(1+e\cos\theta)\right)^2\]

\[= \left(\dfrac{2\pi a}{P\sqrt{1-e^2}}\right)^2\big((e\sin\theta)^2 + (1+e\cos\theta)^2\big)\]

\[= \dfrac{4\pi^2a^2}{P^2(1-e^2)} (1+2e\cos\theta+e^2)\]

케플러 제 3법칙 \(P^2 = \dfrac{4\pi^2}{GM} a^3\)를 대입하자.

\[\dfrac{4\pi^2a^2}{P^2(1-e^2)}= \dfrac{4\pi^2a^2}{\big(\dfrac{4\pi^2a^3}{GM}\big)(1-e^2)} = \dfrac{GM}{a(1-e^2)}\]

\[v^2 = \dfrac{GM}{a(1-e^2)} (1+2e\cos\theta+e^2)\]

극좌표계에서의 타원의 방정식 \(r=\dfrac{a(1-e^2)}{1+e\cos\theta}\)을 변형하여 \(e \cos\theta\)를 구하자.

\[e\cos\theta=\dfrac{a(1-e^2)-r}{r}\]

\[v^2 = GM\cdot\dfrac{1}{a(1-e^2)}\big(1+e^2+2e\cos\theta\big)\]

\[= GM\cdot\dfrac{1}{a(1-e^2)} \left(e^2-1+\dfrac{2a(1-e^2)}{r}\right)\]

따라서,

\[v^2 = GM(\dfrac{2}{r}-\dfrac{1}{a})\]

결론

천체역학에서 궤도 운동 속력을 구하는 것은 매우 중요한 의미를 가진다. 따라서, 궤도 운동 속력을 쉽게 계산할 수 있도록 해주는 활력방정식을 아는 것은 천체역학의 전반적인 내용을 이해하는데 기초적인 역할을 한다.

이 방정식은 단순히 행성 운동의 속도를 예측하는 데 그치지 않고, 실제 우주 탐사에서도 핵심적인 역할을 한다. 인공위성의 궤도 설계, 행성 간 비행 궤적 계산 등에서 활력 방정식을 활용할 수 있다. 따라서 활력 방정식은 고전 역학적 접근으로부터 나온 단순한 결과 같아 보이지만, 그 속에는 천체 역학 전반을 관통하는 통찰과 현대 우주공학의 실용적 가치가 동시에 담겨 있다.